パンルヴェ方程式と無限可積分系の幾何学的研究

Painlevé方程和无限可积系统的几何研究

• 批准号: 17K05270
• 负责人: 津田 照久
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Aoyama Gakuin University (2021-2022)Hitotsubashi University (2017-2020)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17K05270/
• 关键词: パンルヴェ方程式; 無限可積分系; 有理函数近似; 離散力学系; クラスター代数; 超幾何函数; 連分数; 特殊函数

線形常微分方程式のモノドロミーを不変に保ちながら特異点での特性指数を整数だけずらす変換をシュレジンガー変換という。パンルヴェ方程式等のモノドロミー保存変形方程式にとっては，その離散的な対称性を与える重要な変換である。あるいはシュレジンガー変換そのものがパンルヴェ方程式の差分類似と看做せる点で離散力学系，離散可積分系の観点から重要な研究対象である。研究代表者は，あるクラスのシュレジンガー変換が Hermite-Pade 近似およびその双対問題を使って構成できることを発見している(眞野智行氏との共同研究)。 この結果は，対象を確定特異点のみではなく不確定特異点をも許す一般的な状況にも拡 張された。また、この数年の間に明らかになって来た離散パンルヴェ方 程式，およびその対称性とクラスター代数との関係について、mutation combinatorics と呼ぶグラフの組み合わせ的な操作からワイル群の双有理的な実現が構成されることを増田哲氏，大久保直人氏との共同研究によって示している。さらに，ある種の高階 q-差分パンルヴェ方程式とそのワイル群対称性のクラスター代数からの導出を与え，この成果を大久保直人氏，増田哲氏との共著論文として，学術雑誌 RIMS Koukyuroku Bessatsu から出版した。令和4年度は，上述のクラスター代数とグラフの組み合わせ的に導出される q-差分 パンルヴェ方程式を含むより一般なワイル群の双有理変換について，付随する力学系の「ダルブー座標」を反対称な整数行列の標準化という古典的な主題を用いることで構成した。また懸案であった「タウ函数」を非正規クラスター代数を用いることで，自然に導出することに成功した(大久保直人氏，寺嶋郁二氏，増田哲氏，水野勇磨氏との共同研究)。これらは当該研究領域において，今後，基礎的かつ重要な成果になるものと認識している。

整数在保持线性普通微分方程的单差异的同时，将特征指数转移在单数点处的特征指数不变，称为Schlesinger转换。对于诸如Panleve方程之类的单片保守的转换方程，这是一个重要的转换，具有离散的对称性。或者，可以认为Schlesinger转换本身类似于Panleve方程的差异分类，并且从离散动力学和离散的集成系统的角度来看是重要的研究主题。研究人员发现，可以使用Hermite-Pade近似及其双重问题（与Mano Tomoyuki的合作）来构建一类Schlesinger转换。该结果扩展到了总体情况，在这种情况下，不仅允许受试者确定奇异性，而且允许不确定的奇异性。此外，与Masuda Tetsu和Okubo Naoto进行的联合研究表明，Weil组的双性化实现是由称为Mutation Combinatorics的图的组合操作构建的，这些图在过去几年中已经很明显，其对称性和群集Algebra在过去几年中变得清晰。此外，给出了一种高阶Q-差异池方程式及其来自集群代数的Weil组对称性的推导，该结果发表在“学术期刊” RIMS Koukyuroku Bessatsu中，作为与Okubo Naoto和Masusuda Tetsu的共同撰写的论文。对于2022财政年度，对于更通用的Weil组的双重转型，包括Q-差异池方程，这些方程是从上述集群代数和图形的组合中得出的，我们构建了使用反式Integer Matemerticer Mateger Mateger Mateger Matsrices的“ Darbou坐标”的“ Darbou坐标”。此外，通过使用非规范的群集代数，“ tau函数”是成功得出的（与Okubo Naoto，Terashima Ikuji，Masuda tera tera tera tera和Mizuno Yuma的协作研究）。我们认识到，这些将在未来的研究领域中成为基本和重要的结果。

项目成果

Birational Weyl Group Actions via Mutation Combinatorics in Cluster Algebras

簇代数中通过变异组合的双有理 Weyl 群动作

• 发表时间: 2019
• 作者: Kisaka Masashi;Naba Hiroto;Masashi KISAKA;Masashi Kisaka;Masashi Kisaka;Masashi KISAKA;Hayashimoto Atsushi;T. Mano and T. Tsuda;Teruhisa Tsuda;津田 照久
• 通讯作者: 津田 照久

Determinant Structure for tau-Function of Holonomic Deformation of Linear Differential Equations

线性微分方程完整变形tau函数的行列式结构

• 发表时间: 2017
• 作者: Kisaka Masashi;Naba Hiroto;Masashi KISAKA;Masashi Kisaka;Masashi Kisaka;Masashi KISAKA;Hayashimoto Atsushi;T. Mano and T. Tsuda;Teruhisa Tsuda;津田 照久;Teruhisa Tsuda
• 通讯作者: Teruhisa Tsuda

Hermite-Pade approximation, isomonodromic deformation and hypergeometric integral

Hermite-Pade 近似、等单向变形和超几何积分

• DOI: 10.1007/s00209-016-1713-y
• 发表时间: 2017
• 期刊: Mathematische Zeitschrift
• 影响因子: 0.8
• 作者: Yuki Fuseya;Masao Ogata;Hidetoshi Fukuyama;伏屋雄紀，小形正男，福山秀敏;小形正男，伏屋雄紀，福山秀敏;江本裕行，安藤裕一郎，仕幸英治，伏屋雄紀，新庄輝也，白石誠司;Yuki Fuseya;伏屋雄紀;伏屋雄紀;伏屋雄紀，小形正男，福山秀敏;冠木悠太郎，三本啓輔，赤津光洋，根本祐一，後藤輝孝，伏屋雄紀;Toshiyuki Mano and Teruhisa Tsuda
• 通讯作者: Toshiyuki Mano and Teruhisa Tsuda

Mutation Combinatorics in Cluster Algebras and q-Painleve Equations

簇代数和 q-Painleve 方程中的变异组合

• 发表时间: 2019
• 作者: Kisaka Masashi;Naba Hiroto;Masashi KISAKA;Masashi Kisaka;Masashi Kisaka;Masashi KISAKA;Hayashimoto Atsushi;T. Mano and T. Tsuda;Teruhisa Tsuda
• 通讯作者: Teruhisa Tsuda