パンルベ・ガルニエ系の階層構造と対称性

Painlevé-Garnier 系统的层次结构和对称性

• 批准号: 01J05916
• 负责人: 津田 照久
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J05916/
• 关键词: パンルベ方程式; ガルニエ系; 代数関数解; 指標多項式; ソリトン方程式; KP階層; 無限階微分方程式; 戸田方程式

(N-変数)ガルニエ系の双有理対称性の群が格子を含む無限群を成すことを明らかにした.格子上のタウ関数の列が戸田方程式を満たすことを示した.また,対称性の群の適当な元の固定点を考えることによってガルニエ系の代数関数解を構成した.群の含んでいる格子の作用により無数の代数関数解を得る.付随するタウ関数は戸田方程式から計算できるが,適当な変数変換の下で特殊多項式の族を定める.これを代数関数解に付随する特殊多項式と呼ぶ.この特殊多項式を,シューア多項式の拡張である普遍指標を用いて明示する公式を与えた.同様にしてガルニエ系の有理関数解に付随する特殊多項式を構成して,それが長方形のヤング図形に対応するシューア多項式で表されることを示した.上記の二つの特殊多項式の族についての結果は,ガルニエ系とヤング図形の組合せ論,および一般線形群の表現論との関係を明らかにするものである.シューア多項式の拡張である普遍指標をタウ関数に持つ無限次元可積分系(以下UC階層と呼ぶ)を構成した.UC階層は無限階の非線形偏微分方程式系で与えられる新しいクラスのソリトン方程式系であり,KP階層の自然な拡張と見なせる.UC階層の解空間が無限次元グラスマン多様体の直積であること,またその対称性が無限次元リー環gl(∞)【symmetry】gl(∞)で与えられることを証明した.上記UC階層についての結果はKP階層の理論(佐藤理論)の自然な拡張と見倣せる.またUC階層は,無限階微分方程式で与えられる可積分系という従来現れなかった新しい対象であり,今後の可積分系研究において重要な役割を果たすことが期待される.

（n-Varia）揭示了Garnier系统中的双性对称性组形成了一个无限组，其中包含晶格。结果表明，tau的序列在晶格上的功能满足TODA方程。此外，通过考虑对称组的适当原始固定点，我们构建了Garnier系统的代数解。包含该组的晶格的作用允许无数代数解。随附的tau函数可以根据TODA方程计算，但是在适当的变量转换下，我们定义了特殊多项式的家族。这被称为与代数溶液相关的特殊多项式。我们给出了一个公式，该公式使用通用指数（Schuer多项式扩展）明确说明了这种特殊的多项式。同样，我们构建了一种特殊的多项式，该多项式与Garnier系统的合理函数解相关，并表明它是由Schuer多项式表示的，该多项式与年轻人的矩形形状相对应。上述两个特殊多项式家族的结果是，这是一种阐明杨氏图的组合理论与一般线性群体的表示理论之间关系的方法。它构成了一个无限二维集成系统（以下称为UC层次结构），其通用索引是Schuer多项式的扩展。 UC层次结构是一类新的孤子方程系统，由无限级的非线性部分微分方程系统给出，可以被视为KP层次结构的自然扩展。 UC层次结构的解决方案空间是无限二维的Grassmann歧管。已经证明它是一种直接产物，其对称性是由无限尺寸Lee Ring GL（∞）[对称性] GL（∞）给出的。上述UC层次结构的结果可以看作是KP层次结构理论（SATO理论）的自然扩展。此外，UC层次结构是一个以前从未出现的新对象，它是由无限订单微分方程给出的可集成系统，并有望在对集成系统的未来研究中发挥重要作用。

项目成果

津田 照久: "ガルニエ系に付随する戸田方程式および特殊多項式"数理解析研究所講究録. 1296. 128-136 (2002)

Teruhisa Tsuda：“与卡尼尔系统相关的户田方程和特殊多项式”数学分析研究所 1296. 128-136 (2002)。

津田 照久: "ガルニエ系の階層構造と対称性"数理解析研究所講究録. 1203. 57-70 (2001)

Teruhisa Tsuda：“卡尼尔系统的层次结构和对称性”数学分析研究所的 Kokyuroku 1203. 57-70 (2001)。

津田 照久: "2変数ガルニエ系の双線形形式について"Rokko Lectures in Mathematics(パンルヴェ方程式の眺望). 7. 173-182 (2000)

Teruhisa Tsuda：“关于两个变量的卡尼尔系统的双线性形式”六甲数学讲座（Painlevé 方程的视图）7. 173-182 (2000)。

Teruhisa TSUDA: "Birational symmetries, Hirota bilinear forms and special solutions of the Garnier systems in 2-variables"J.Math.Sci.Univ.Tokyo. (巻号未定).

Teruhisa TSUDA：“双有理对称性、Hirota 双线性形式和 2 变量卡尼尔系统的特殊解”J.Math.Sci.Univ.Tokyo（卷号未定）。