A study of solutions of the Painleve equation derived from monodromy invariant Hermitian forms.

研究从单向不变埃尔米特形式导出的 Painleve 方程的解。

• 批准号: 22KJ2518
• 负责人: 安達 駿弥
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Chiba University (2023)Kumamoto University (2022)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2518/
• 关键词: モノドロミー不変エルミート形式; 線形Fuchs型常微分方程式; パンルヴェ方程式; ガルニエ系; モノドロミー多様体

本研究は，線形Fuchs型常微分方程式のモノドロミーが不変エルミート形式を持つ(即ちユニタリ性を持つ)とき，その線形方程式に対応するパンルヴェ方程式の解がどのような性質を持つかを明らかにすることを目指している。本年度は，昨年度に受理された論文で得られた結果の一般化が得られた。即ち，(n+1)個の特異点を持つ2階線形Fuchs型方程式のモノドロミーが不変エルミート形式を持つための条件をモノドロミー多様体と呼ばれる代数多様体の座標を用いて特徴付け，さらにそのようなモノドロミーと付随する不変エルミート形式を具体的に構成した。モノドロミー多様体の点は，第6パンルヴェ方程式(n=3の場合)やガルニエ系(n≧4の場合)の解と対応している。例えば第6パンルヴェ方程式の解のタウ函数の漸近展開及びフーリエ展開はモノドロミー多様体の言葉で記述されることが知られている(神保，Gamayun-Iorgov-Lisovyyなど)。従って上記の結果は，Hermitian-classに属するパンルヴェ方程式やガルニエ系の解とそれらに付随するエルミート形式を解析しやすく，また先行研究との親和性が高い見方で捉えたことを意味している。以上の研究成果をまとめた論文を学術雑誌に投稿した。またいくつかの研究会において成果を発表し，多くの専門家と意見交換した。また，本研究と多変数完全積分可能系の理論を関係させるという着想の下で具体例の計算を始めた。具体的には，与えられた線形Fuchs型方程式を特異点集合への制限に持つような完全積分可能な線形Pfaff系の構成とその解析である。完全積分可能系やそのモノドロミー，方程式の延長・制限は現在活発に研究されており，モノドロミー保存変形を通してパンルヴェ方程式やそれを一般化した非線形方程式の特殊解とも関係がある。今後も本研究課題の視点から考察を深めたい。

这项研究旨在阐明当线性fuchs-type的普通微分方程具有不变性的Hermitian形式（即，它具有单一的属性）时，PANLEVE方程的溶液对应于线性方程的溶液的特性。今年，我们获得了从去年接受的论文获得的结果的概括。换句话说，使用（n+1）奇异性具有不变性的hermitian形式的两阶线性fuchs型方程的单个条件的条件是使用代数歧管的坐标来表征的，称为单曲片流形的坐标，以及与这种单形成型的遗传形式相关的遗传形式。单片歧管中的点对应于第六个板式方程的溶液（对于n = 3）和Garnier系统（对于n≧4）。例如，众所周知，在单粒歧管（Jimbo，Gamayun-iorgov-lisovyy等）的术语中描述了tau函数的渐近膨胀和Tau函数的傅立叶扩展。因此，以上结果表明，属于Hermitian级和Garnier解决方案的泛龙方程以及伴随的Hermitian级可以很容易地进行分析，并且对先前研究的亲和力很高。总结上述研究结果的论文已提交给学术期刊。结果还在几个研究小组中提出，并与许多专家交换了意见。此外，我们开始计算具体示例，将这项研究与多变量完全集成系统的理论联系起来的想法。具体而言，它是一个完全可集成的线性PFAFF系统的结构和分析，该系统具有给定的线性fuchs型方程，仅限于一组单数点。目前正在积极研究完全可以整合的系统，它们的单片以及方程式的扩展和局限性，并且与Panleve方程的特殊解决方案以及通过单片保护转换概括它们的非线性方程。我想继续从将来的研究主题的角度加深我的考虑。

项目成果

2階Fuchs型常微分方程式のモノドロミーのユニタリ性

二阶Fuchs型常微分方程单调性

• 发表时间: 2022
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi;Shunya Adachi;安達 駿弥
• 通讯作者: 安達 駿弥

Unitary monodromies of Fuchsian differential equations

Fuchsian 微分方程的酉单调

• 发表时间: 2023
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi;Shunya Adachi
• 通讯作者: Shunya Adachi

2階Fuchs型微分方程式のモノドロミー不変Hermite形式

二阶 Fuchs 型微分方程的单向不变 Hermite 形式

• 发表时间: 2022
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi;Shunya Adachi;安達 駿弥;安達 駿弥
• 通讯作者: 安達 駿弥

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Monodromy invariant Hermitian forms for second order Fuchsian differential equations with four singularities

具有四个奇点的二阶 Fuchs 微分方程的单向不变 Hermitian 形式

• DOI: 10.7494/opmath.2022.42.3.361
• 发表时间: 2022
• 期刊: Opuscula Mathematica
• 影响因子: 1
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi
• 通讯作者: Shunya Adachi