A study of solutions of the Painleve equation derived from monodromy invariant Hermitian forms.

研究从单向不变埃尔米特形式导出的 Painleve 方程的解。

• 批准号: 22KJ2518
• 负责人: 安達 駿弥
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Chiba University (2023)Kumamoto University (2022)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2518/
• 关键词: モノドロミー不変エルミート形式; 線形Fuchs型常微分方程式; パンルヴェ方程式; ガルニエ系; モノドロミー多様体

本研究は，線形Fuchs型常微分方程式のモノドロミーが不変エルミート形式を持つ(即ちユニタリ性を持つ)とき，その線形方程式に対応するパンルヴェ方程式の解がどのような性質を持つかを明らかにすることを目指している。本年度は，昨年度に受理された論文で得られた結果の一般化が得られた。即ち，(n+1)個の特異点を持つ2階線形Fuchs型方程式のモノドロミーが不変エルミート形式を持つための条件をモノドロミー多様体と呼ばれる代数多様体の座標を用いて特徴付け，さらにそのようなモノドロミーと付随する不変エルミート形式を具体的に構成した。モノドロミー多様体の点は，第6パンルヴェ方程式(n=3の場合)やガルニエ系(n≧4の場合)の解と対応している。例えば第6パンルヴェ方程式の解のタウ函数の漸近展開及びフーリエ展開はモノドロミー多様体の言葉で記述されることが知られている(神保，Gamayun-Iorgov-Lisovyyなど)。従って上記の結果は，Hermitian-classに属するパンルヴェ方程式やガルニエ系の解とそれらに付随するエルミート形式を解析しやすく，また先行研究との親和性が高い見方で捉えたことを意味している。以上の研究成果をまとめた論文を学術雑誌に投稿した。またいくつかの研究会において成果を発表し，多くの専門家と意見交換した。また，本研究と多変数完全積分可能系の理論を関係させるという着想の下で具体例の計算を始めた。具体的には，与えられた線形Fuchs型方程式を特異点集合への制限に持つような完全積分可能な線形Pfaff系の構成とその解析である。完全積分可能系やそのモノドロミー，方程式の延長・制限は現在活発に研究されており，モノドロミー保存変形を通してパンルヴェ方程式やそれを一般化した非線形方程式の特殊解とも関係がある。今後も本研究課題の視点から考察を深めたい。

本研究的目的是阐明当单性具有不变埃尔米特形式（即我们的目标是幺正性）时，对应于线性 Fuchsian 常微分方程的 Painlevé 方程的解的性质。今年，我们能够概括去年接受的论文中获得的结果。也就是说，我们使用称为一元簇的代数簇的坐标来刻画具有 (n+1) 个奇点的二阶线性 Fuchs 型方程的一元性条件，以具有不变的 Hermitian 形式，并进一步发展 We具体地构建了单一性和伴随的不变埃尔米特形式。单向流形的点对应于第六 Painlevé 方程（n=3）和 Garnier 系统（n≥4）的解。例如，已知第六个 Painlevé 方程解的 Tau 函数的渐近展开式和傅立叶展开式可以用单向流形（Jimbo、Gamayun-Iorgov-Lisovyy 等）来描述。因此，上述结果意味着属于 Hermitian 类的 Painlevé 方程和 Garnier 系统的解及其相关的 Hermitian 形式很容易分析，并且可以从与先前研究高度兼容的角度来看待。总结上述研究成果的论文已提交给学术期刊。我们还在多次研究会议上展示了我们的成果，并与许多专家交换了意见。此外，我们开始计算具体的例子，想法是将这项研究与多变量完全可积系统理论联系起来。具体来说，我们构建并分析了一个完全可积的线性 Pfaff 系统，该系统将给定的线性 Fuchs 型方程限制为一组奇点。完全可积系统、其单性性以及方程的扩展和限制目前正在积极研究，并且还与 Painlevé 方程及其广义非线性方程通过单性保持变换的特殊解有关。我想从这个研究课题的角度继续加深我的思考。

项目成果

2階Fuchs型常微分方程式のモノドロミーのユニタリ性

二阶Fuchs型常微分方程单调性

• 发表时间: 2022
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi;Shunya Adachi;安達 駿弥
• 通讯作者: 安達 駿弥

Unitary monodromies of Fuchsian differential equations

Fuchsian 微分方程的酉单调

• 发表时间: 2023
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi;Shunya Adachi
• 通讯作者: Shunya Adachi

2階Fuchs型微分方程式のモノドロミー不変Hermite形式

二阶 Fuchs 型微分方程的单向不变 Hermite 形式

• 发表时间: 2022
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi;Shunya Adachi;安達 駿弥;安達 駿弥
• 通讯作者: 安達 駿弥

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Monodromy invariant Hermitian forms for second order Fuchsian differential equations with four singularities

具有四个奇点的二阶 Fuchs 微分方程的单向不变 Hermitian 形式

• DOI: 10.7494/opmath.2022.42.3.361
• 发表时间: 2022
• 期刊: Opuscula Mathematica
• 影响因子: 1
• 作者: Ikariko Issei;Kim Sunnam;Hiroyasu Yae;Higashiguchi Kenji;Matsuda Kenji;Yokojima Satoshi;Kurihara Seiji;Fukaminato Tsuyoshi;碇子 壱成・金 善南・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成・金 善南・廣安 八重・東口 顕士・松田 建児・栗原 清二・深港 豪;碇子 壱成;碇子 壱成;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;中元航平;Shunya Adachi
• 通讯作者: Shunya Adachi