偏極代数多様体族と小林・Hitchin対応

极化代数簇族和小林-希钦对应

基本信息

批准号：
14740033
负责人：
中川泰宏
金额：
$ 2.43万
依托单位：
Kanazawa University (2004)Tohoku University (2002-2003)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度までの研究に引続き,偏極代数多様体の幾何学的不変式論の意味における安定性と定スカラー曲率Kahler計量の存在とが同値になるという予想,いわゆる「偏極代数多様体に対する小林・Hitchin対応」を中心に研究した.この予想をFano多様体と呼ばれる,反標準直線束が豊富な射影的代数多様体の場合に考えると,安定性とEinstein・Kahler計量の存在の同値性の問題となる.この観点から,TianはFano多様体に対してK安定性とCM安定性という二種類の安定性を導入し,Fano多様体がEinstein・Kahler計量を持つとき,K安定にもCM安定にもなるということを示した.一方,一般の偏極代数多様体に対しては,CM安定性はすぐに一般化することができるのだが,K安定性の方は技術的困難により,素朴には一般化することができない.しかしながら,昨年度までの研究成果に基き,K安定性の概念を一般の偏極代数多様体にまで一般化することができた.一方,Donaldsonもまた,K安定性を別の枠組みを用いて定義している.そこで,二つのK安定性を比較してみた結果,退化するファイバーが正規の時には二つの定義は一致することが解った.また,二つのK安定性を比較してみた結果,幾何学的不変式論の枠組みである,Hilbert点の意味での安定性との関連が深いことがわかった.さらに,これまでに得られた研究成果を見直し,満渕により導入されたChow点の意味での安定性に対する障害と板東・Calabi・二木指標が非常に密接な関係があることを考察し,二次元複素射影空間を一点でブローイング・アップした複素曲面は満渕の障害が消えないことを示した.

从上一年开始，我们重点介绍了这样一个预测，即在极化代数歧管的几何不变性理论意义上，稳定性和恒定标态曲率度量的存在将相互平等。当我们考虑这种预测的情况下，即构成代数歧管（称为fano歧管），它富含反标准的线性捆绑包，它成为稳定性与爱因斯坦 - 卡勒勒指标的存在之间的等效性问题。从这个角度来看，天的稳定性，K稳定性和CM稳定性引入了Fano歧管，而Fano歧管具有Einstein-Kahler指标，则可以是K稳定性和CM稳定性。另一方面，对于一般两极化的代数歧管，CM稳定性可以很容易概括，但是K稳定性是由于技术困难造成的，因此可以很容易地说，但是，基于去年的研究结果，K稳定性的概念可以推广到一般的极性代数分歧。同时，唐纳森还使用不同的框架来定义K稳定性。因此，当比较两个k稳定性时，发现在变性纤维正常时，两个定义重合。此外，在比较两个K稳定性时，发现希尔伯特点的稳定性之间存在着深厚的关系，这是几何不变理论的框架。此外，在回顾了到目前为止获得的研究结果后，我们研究了三菱和Bando，Calabi和Niki Index引入的Chow点的稳定性障碍之间的非常紧密的关系，并表明复杂的表面炸毁了两维复杂投影空间的一点点不会消失。