トーリックFano多様体上のEinstein-Kahler計量

环面 Fano 流形上的爱因斯坦-卡勒度规

基本信息

批准号：
06740043
负责人：
中川泰宏
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740043/
关键词：
Einstein-Kahler計量トーリック多様体 Fano多様体軌道体

项目摘要

Kahler多様体上にいつEinstei-Kahler計量が存在するかという問題がCalabiにより提出された.この問題は第一Chern類が零又は負の時AubinとYauにより解かれた.一方,第一Chern類が正の複素多様体はFano多様体と呼ばれるが,この時は存在することに対する障害として松島障害と二木不変量の二つが知られていて,存在に対してはTian・Siu・Nadelなどによる部分的な解答しか知られていない.現在のところこの問題を解くには群の作用による対称性を利用する方法が非常に重要となっている.例えば,等質空間のときには必ず存在することが知られている.そこで我々はその次に対称性の高い概等質空間を考えることにする.なかでも次元分の代数的トーラスが作用しているトーリックFano多様体と呼ばれる概等質空間上でこの問題を考えることにする.トーリックFano多様体を考えることの利点は,トーリックFano多様体には凸多面体が一対一に対応していてその凸多面体を調べることによりもとのトーリックFano多様体の幾何学的性質が解るということにある.例えば,松島障害は対応する凸多面体が対称であるかということに対応し,二木不変量は対応する凸多面体の重心に対応している.この事実を利用して次元が四以下のトーリックFano多様体で二木不変量の消えたことがEinstein-Kahler計量を持つための必要十分条件であること昨年度までの研究で解っていた.本年度はこのEinstein-Kahler計量の存在問題を商特異点を許す多様体である軌道体についても考えた.この問題については,反標準因子が豊富なCartier因子になる二次元トーリック軌道体に対して,Einstei-Kahler計量をもつための必要十分条件は二木不変量が消えることであることが示せた.

Calabi 提出了卡勒簇上何时存在爱因斯坦-卡勒度量的问题。当第一个 Chern 类为零或负时，该问题由 Aubin 和 Yau 解决。第一个 Chern 类为正的复流形称为 Fano 流形，但在这种情况下，存在两个已知的障碍：Matsushima 无序和 Niki 不变量，以及 Tian 和 Siu。目前只知道部分答案。目前，利用群作用的对称性的方法对于解决这个问题非常重要。例如，在齐次空间中，可以解决始终存在的问题，因此，我们接下来。考虑具有高度对称性的近齐性空间。特别地，我们将考虑称为环面 Fano 流形的近齐性空间，其中维数环面起作用。让我们考虑一下环面 Fano 簇。考虑这一点的好处是，凸多面体与环面 Fano 流形存在一一对应关系，通过检查凸多面体，我们可以了解原始环面 Fano 流形的几何性质。例如，松岛无序是对应于对应的凸多面体是否对称，二树不变量对应于对应的凸多面体的重心。利用这一事实，我们可以在维度为4或更小的复曲面Fano流形中表达二树不变量。爱因斯坦认为不变量已经消失我们从去年的研究中知道，这是拥有卡勒内度量的充分必要条件。今年，我们还考虑了轨道的爱因斯坦-卡勒度量的存在问题，轨道是允许商奇点的流形关于这个问题，证明对于卡地亚因子富含反标准因子的二维环面轨道体，具有爱因斯坦-卡勒度量的充要条件是二树不变量消失。