トーリックFano多様体のKahler幾何学

环面 Fano 流形的卡勒几何

基本信息

批准号：
09740047
负责人：
中川泰宏
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

项目摘要

Kahler多様体はいかなるときに「良い」Kahler計量を持つかという問題について研究した.ここで「良い」Kahler計量としては,多様体がFanoの時にはEinstein-Kahler計量が考えられる.一般のKahler多様体に対しては,定スカラー曲率を持つKahler計量が考えられるであろう.これらの計量の存在に対する障害として,Einstein-Kahler計量に対しては二木指標,定スカラー曲率を持つKahler計量に対しては板東・Calabi・二木指標と呼ばれる正則ベクトル場のなすLie環の指標が知られている.これまで二木指標に対しては,二木・森田・満渕によりいくつかの性質が示されてきた.一方,板東・Calabi・二木指標については,あまり研究はなされていないようであった.本研究では,二木指標に対して示されているある性質を板東・Calabi・二木指標の場合にまで拡張することができた.具体的には,考えているKahler多様体の正則自己同型群の巾単部分群をとったときに,そのLie環の上で板東・Calabi・二木指標が消えることを,昨年度(平成9年度)の研究により示すことができた.この結果により,トーリック多様体と呼ばれる同じ次元のトーラスの作用する多様体上で板東・Calabi・二木指標を考えるとき,トーラスのLie環の上だけで考えれば良いということが解る.さらに,端的Kahlerベクトル場と呼ばれる,板東・Calabi・二木指標と非常に関係の深いベクトル場の周期性定理も昨年度の研究により示すことができた.尚,これらの結果はFano多様体の時の二木指標に対して二木・満渕が示した結果の板東・Calabi・二木指標への一般化にあたるものである.昨年度の研究に引き続き,今年度(平成10年度)は,板東・Calabi・二木指標をGodbillon・Vey不変量(のある種の一般化)として解釈してやることができた.またこの結果を用いて,板東・Calabi・二木指標を正則自己同型群の指標に持ち上げてやることが概ねできそうであることもわかった.尚,これらの結果はFano多様体の時の二木指標に対して二木・森田が示した結果の板東・Calabi・二木指標への一般化にあたるものである.

我们研究了何时Kahler歧管具有“好” Kahler指标的问题。在这里，作为“良好”卡勒公制，当歧管是fano时，Einstein-Kahler指标被考虑。对于一般的卡勒歧管，可以考虑具有恒定标态曲率的Kahler指标。作为存在这些指标的障碍，Niki指数被称为Einstein-Kahler指标，而Bando，Calabi和Niki索引被称为具有恒定标态曲率的Kahler指标。已知由常规向量场形成的谎言环的指标。到目前为止，Niki，Morita和Mitsubuchi已经显示了几种特性。同时，关于Bando，Calabi和Niki指数的研究似乎很少。在这项研究中，尼基指数显示的某些特性可以扩展到Bando，Calabi和Niki指数。具体而言，当我们正在考虑采取的卡勒歧管的常规自动形态组的一个子组时，bando，calabi和Niki索引在Lie环上消失了。去年（1997年）的一项研究表明了这一结果。该结果表明，当考虑bando，calabi和nitki索引上的多种多样时，圆环在相同的维度上作用，即圆环歧管时，只能在圆环的谎言环上考虑一下。此外，去年的研究还显示了与Bando，Calabi和Nitki指数密切相关的向量领域的周期性定理，这称为简单的Kahler Vector Field。此外，当Fano歧管时，Nitki和Mitsubuchi显示的Nitki指数显示了这些结果。这是对ABI和Niki指数的概括。在去年的研究之后，今年（1998财年）能够将Bando，Calabi和Niki Index解释为Godbillon和Vey Invaniants（一种概括）。使用这些结果，还揭示了通常可以将Bando，Calabi和Niki指数提高到常规自动形态组的指标。这些结果对应于Niki和Morita在使用FANO歧管时与Niki和Morita相关的Niki和Morita所显示的结果的Bando，Calabi和Niki索引的概括。