トーリック多様体の微分幾何学的研究

复曲面流形的微分几何研究

基本信息

批准号：
08211205
负责人：
中川泰宏
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

トーリックFano多様体上にいつEinstei-Kahler計量が存在するかという問題について研究した.この問題に対する障害として松島障害と二木指標の二つが知られている.トーリックFano多様体を考えることの利点は,凸多面体が一対一に対応していて,その凸多面体によりトーリックFano多様体の幾何学的性質が解るということにある.また,Einstein-Kahler計量の一般化の概念として端的Kahler計量がCalabiにより定義された.この端的Kahler計量にも二木指標が関係することが,一般化されたKilling形式を用いて二木・満渕により示された.端的Kahler計量の存在に対する障害としては,松島障害の一般化にあたるCalabiによる正則自己同型群の構造定理がある.よってトーリックFano多様体の正則自己同型群がこのCalabiの構造定理を満すかという問題も考えられる.また,これらの問題は商特異点を許す多様体である軌道体にまで一般化することができる.これらの問題を考えるために,まずトーリックFano軌道体上の二木指標と一般化されたKilling形式を,対応する凸体のデータで記述する,組み合せ論的公式を構成した.この公式により高次元の場合でも比較的簡単に二木指標や一般化されたKilling形式を求められる様になった.この組み合せ論的公式を用いて,二次元トーリックFano軌道体と三,四次元非特異トーリックFano多様体の二木指標と一般化されたKilling形式を具体的に計算した.その結果,これらの多様体,または軌道体の正則自己同型群に対して,Calabiの構造定理が成り立つことがわかった.

我们研究了环面 Fano 簇上何时存在爱因斯坦-卡勒度量的问题。这个问题有两个已知的障碍：松岛无序和 Niki 指数。考虑环面 Fano 簇的优点是，凸多面体有一个-一一对应，并且可以从凸多面体来理解环面法诺流形的几何性质。此外，爱因斯坦-简单卡勒度量由 Calabi 定义为卡勒度量的广义概念。Niki 和 Mitsubuchi 使用广义 Killing 形式表明 Niki 指数也是这种简单卡勒度量存在的障碍。卡勒度量是卡拉比全纯自同构群的结构定理，是松岛无序的推广。我们还可以考虑模态体的全纯自同构群是否满足卡拉比结构定理的问题。而且，这些问题可以推广到轨道体，轨道体是允许商奇点的流形。为了考虑这个问题，我们首先构造了一个组合公式。它描述了复曲面 Fano 轨道场上的 Futari 指数和使用相应凸体数据的广义 Killing 形式。通过这个公式，我们可以解决更高维度的问题。获得二树指数和广义Killing形式变得相对容易我们专门计算了Futai指数和广义Killing形式。结果，我们发现卡拉比结构定理对于这些流形或轨道的全纯自同构群成立。