写像類群のコホモロジーと整係数Riemann-Roch公式の位相幾何学的研究

映射类群上同调与积分系数Riemann-Roch公式的拓扑研究

基本信息

批准号：
14740032
负责人：
秋田利之
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

写像類群に対するGrothendieck-Riemann-Rochの定理の、整係数コホモロジーにおける類似(整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式)を証明すること、その応用として写像類群の整係数コホモロジーの構造を解明することを目的として研究を進めた。今年度は(i)コホモロジー作用素とGysin準同型(ファイバーに沿った積分)の関係(ii)前項の結果の整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式への応用を中心に研究を進め以下の結果を得た。1.向き付けられた閉多様体をファイバーとするファイバー束に対し、コホモロジー作用素(Steenrod作用素)とGysin準同型との非可換性が、相対接束(ファイバーに沿った接束)の全Stiefel-Whitney類または全Wu類で記述されることを前年度に示したが、この結果の別証明をBecker-Gottliebトランスファーを用いて与えた。2.前項の結果と整数論のKummerの恒等式を組み合わせることにより、写像類群に対する整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式の素数pを法とする還元(mod p Grothendieck-Riemann-Roch公式)が無限に多くの場合に正しいことを証明した。3.写像類群の安定森田-Mumford類には非自明な関係式がないことが知られていたが、そのmod p還元には、多くの非自明な関係式があることを示した。

本研究的目的是证明积分系数上同调（整数系数 Grothendieck-Riemann-Roch 公式）中映射类群的 Grothendieck-Riemann-Roch 定理的类比，并作为其应用，阐明积分系数的结构我继续我的研究。今年，我们重点研究了（i）上同调算子和Gysin同态（沿纤维积分）之间的关系，以及（ii）将上一节的结果应用到积分系数Grothendieck-Riemann-Roch公式中，并得到以下结果。 1. 对于纤维定向闭流形的纤维丛，上同调算子（Steenrod 算子）与 Gysin 同态之间的非交换性是相对切丛（沿纤维的切丛）的总 Stiefel - 我们在前面展示过今年，它是由 Whitney 类或整个 Wu 类描述的，并且我们使用 Becker-Gottlieb 转移提供了该结果的另一个证明。 2. 结合上一节的结果和数论中的 Kummer 恒等式，我们可以得到积分系数 Grothendieck-Riemann-Roch 公式模素数 p 的无限多次约简（mod p Grothendieck-Riemann-Roch 公式）进行映射类组的情况被证明是正确的。 3. 映射类群的稳定性尽管我们知道 Morita-Mumford 类没有非平凡关系，但我们证明了它们的 mod p 约简中存在许多非平凡关系。