Algebraic topology of quantum spin systems

量子自旋系统的代数拓扑

• 批准号: 22K13910
• 负责人: 窪田 陽介
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Shinshu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13910/
• 关键词: 量子スピン系; トポロジカル相; 作用素環; 一般コホモロジー; 粗幾何学; 特性類

本年度は，作用素環論におけるKasparov理論のテンソル圏同変版にあたる（コ）ホモロジー理論の整備に関する研究（荒野悠輝氏，北村侃氏との共同）を進めた．テンソル圏は群や量子群を一般化した一般的な意味での対称性を記述する道具で，場の理論や量子スピン系などの数理物理でも大きな役割を果たす．この研究では，テンソル圏によって記述される対称性を持つような作用素環のトポロジカルな分類を与えるような理論を構築した．これは，群と表現圏の間の淡中-Krein双対性をKK理論のレベルにまで一般化したもので，既存のKK理論のモノイダル不変性に対してよりコンセプチュアルな理解を与え，さらにC*-環の包含の分類理論のうちトポロジカルな側面を抽出するための理論的枠組を与える．この内容は近日中に論文として発表される．テンソル圏のC*-環への作用は，量子スピン系における代数的な模型（ストリングネット模型）と関係があり，実際に量子スピン系に由来する具体例の構成も研究されている．上記の研究中で得られた知見，テンソル圏という概念の扱いの習熟は，次年度以降に本研究課題の主要部である量子スピン系の理論を進めるにあたっての基礎となると想定している．

今年，我们（与 Yuki Arano 和 Kan Kitamura 合作）对（共）同调理论的发展进行了研究，该理论是算子代数理论中卡斯帕罗夫理论的张量范畴等变版本。张量范畴是一般意义上描述群和量子群对称性的工具，在场论、量子自旋系统等数学物理中发挥着重要作用。在这项研究中，我们构建了一种理论，提供了具有由张量类别描述的对称性的算子代数的拓扑分类。这将群和表象范畴之间的Tanzhong-Krein对偶性推广到了KK理论的层面，对现有KK理论的幺群不变性给出了更加概念化的理解，进而对现有KK理论的幺群不变性提供了更加概念化的理解——提供了提取环包含分类理论的拓扑方面的理论框架。该内容将于近期以论文形式发表。张量范畴对C*环的作用与量子自旋系统中的代数模型（弦网模型）有关，并且还正在研究由量子自旋系统导出的具体例子的构造。预计从明年开始，上述研究中获得的知识以及对张量范畴概念处理的掌握将成为推进量子自旋系统理论的基础，而量子自旋系统理论是本研究项目的主要部分。