空間テータ曲線の局所変形とVassiliev不変量の研究

空间theta曲线的局部变形和Vassiliev不变量研究

• 批准号: 13740035
• 负责人: 安原 晃
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Tokyo Gakugei University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740035/
• 关键词: C_k-move; C_k同値; 空間θ曲線; Vassiliev不変量; 結び目; 局所変形; C_κ-move; θ曲線

結び目・絡み目の局所変形にC_k-moveと呼ばれるものがある.これは葉広氏により定義されたもので,同氏は数年前に次の驚くべき結果「2つの結び目の位数k-1のVassiliev不変量が等しい為の必要十分条件は,それらがC_k-moveで移り合うことである.」を示した.結び目の集合をC_k-moveで割った同値類(これをC_k同値類と呼ぶ)は,結び目の連結和という操作の下で可換群になる.これは葉広氏の結果の証明のキーポイントである.結び目理論で良く扱われる空間グラフの1つに,空間θ曲線と呼ばれるものがある.空間θ曲線に対してもC_k-moveが定義できるのであるが,最近の私の研究により,空間θ曲線のC_k同値類が頂点連結和と呼ばれる操作の下で群構造をもつ事がわかり,位数kの低いところでは,葉広氏の定理と同様な結果が得られることがわかった.結び目のC_k同値類のなす群と空間θ曲線のC_k同値類のなす群の大きな違いは,結び目の方は可換群になるのが明らかなのに対し,空間θ曲線の方は位数kが大きくなると可換か否かの判定が困難になる事が挙げられる.平成13年度の研究成果として次が得られた.[定理]空間θ曲線のC_k同値類のなす群が可換であれば,2つの空間θ曲線の位数k-1のVassiliev不変量が等しい為の必要十分条件は,それらがC_k-moveで移り合うことである.従って,空間θ曲線のC_k同値類のなす群が可換か否かを調べることが重要な課題であった.これに対し,平成14年度の成果として次が得られた.[定理]空間θ曲線のC_k同値類のなす群は,k【less than or equal】4ならば可換であり,k【greater than or equal】12ならば非可換である.

结和连接有一种局部变形，称为 C_k-move，这是由 Hahiro 先生定义的，他几年前报告了以下令人惊讶的结果：“两个结的 Vassil 的阶数。 iev 不变量相等的充要条件是它们随 C_k-move 一起移动。”他证明等价类是除以 C_k-move 的结集（这称为 C_k 等价类）。 ，在结的连通和运算下成为交换群，这是Hahiro结果证明的关键点。结理论中经常处理的空间图之一就是所谓的空间θ曲线。也可以为空间 θ 曲线定义，但我最近的研究表明，空间 θ 曲线的 C_k 等价类在称为顶点连接和的操作下具有群结构，低阶 k。顺便说一句，我们发现可以得到类似于Hahiro定理的结果。由结的C_k等价类构成的群与由空间θ曲线的C_k等价类构成的群的主要区别在于结是可交换的很明显，他们会组成一个团体。另一方面，随着k阶数的增加，很难判断空间θ曲线是否可交换。2001年得到了以下研究成果。 【定理】空间θ曲线的C_k等价类如果所形成的群是可交换的，则两条空间 θ 曲线的 k-1 阶 Vassiliev 不变量相等的充要条件是它们随 C_k-move 移动，因此，空间 θ 曲线为 。一个重要的问题是研究C_k等价类所构成的群是否可交换。2002年得到如下结果： [定理]空间θ曲线的C_k等价类 群是k【小于如果k[大于或等于]4，则它是可交换的，如果k[大于或等于]12，则它是不可交换的。

项目成果

Akira Yasuhara: "C_k-moves on spatial theta-curves and Vassiliev invariant"Topology and its Applications. 128. 309-324 (2003)

Akira Yasuhara：“C_k 在空间 theta 曲线上移动和 Vassiliev 不变量”拓扑及其应用。

Kouki Taniyama, Akira Yasuhara: "Clasp-pass move on knots, links and spatial graphs"Topology and its Applications. 122. 501-529 (2002)

Kouki Taniyama、Akira Yasuhara：“结、链接和空间图上的扣环移动”拓扑及其应用。

K.Taniyama, A.Yasuhara: "Band description of knots and Vassiliev invariants"Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society. (掲載予定).

K.Taniyama、A.Yasuhara：“结和 Vassiliev 不变量的带状描述”剑桥哲学会数学会刊（待出版）。

Kouki Taniyama, Akira Yasuhara: "Band description of knots and Vassiliev invariants"Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 133. 325-343 (2002)

Kouki Taniyama、Akira Yasuhara：“结和 Vassiliev 不变量的带状描述”剑桥哲学会数学会刊。

K.Taniyama, A.Yasuhara: "Clasp-pass moves on knots, links and spatial graphs"Topology and its Applications. (掲載予定).

K.Taniyama、A.Yasuhara：“扣环在结、链接和空间图上移动”拓扑及其应用（待出版）。