空間テータ曲線の局所変形とVassiliev不変量の研究

空间theta曲线的局部变形和Vassiliev不变量研究

• 批准号: 13740035
• 负责人: 安原 晃
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Tokyo Gakugei University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740035/
• 关键词: C_k-move; C_k同値; 空間θ曲線; Vassiliev不変量; 結び目; 局所変形; C_κ-move; θ曲線

結び目・絡み目の局所変形にC_k-moveと呼ばれるものがある.これは葉広氏により定義されたもので,同氏は数年前に次の驚くべき結果「2つの結び目の位数k-1のVassiliev不変量が等しい為の必要十分条件は,それらがC_k-moveで移り合うことである.」を示した.結び目の集合をC_k-moveで割った同値類(これをC_k同値類と呼ぶ)は,結び目の連結和という操作の下で可換群になる.これは葉広氏の結果の証明のキーポイントである.結び目理論で良く扱われる空間グラフの1つに,空間θ曲線と呼ばれるものがある.空間θ曲線に対してもC_k-moveが定義できるのであるが,最近の私の研究により,空間θ曲線のC_k同値類が頂点連結和と呼ばれる操作の下で群構造をもつ事がわかり,位数kの低いところでは,葉広氏の定理と同様な結果が得られることがわかった.結び目のC_k同値類のなす群と空間θ曲線のC_k同値類のなす群の大きな違いは,結び目の方は可換群になるのが明らかなのに対し,空間θ曲線の方は位数kが大きくなると可換か否かの判定が困難になる事が挙げられる.平成13年度の研究成果として次が得られた.[定理]空間θ曲線のC_k同値類のなす群が可換であれば,2つの空間θ曲線の位数k-1のVassiliev不変量が等しい為の必要十分条件は,それらがC_k-moveで移り合うことである.従って,空間θ曲線のC_k同値類のなす群が可換か否かを調べることが重要な課題であった.これに対し,平成14年度の成果として次が得られた.[定理]空間θ曲線のC_k同値類のなす群は,k【less than or equal】4ならば可換であり,k【greater than or equal】12ならば非可換である.

有一个局部变化的结和纠缠，称为C_K-MOVE。这是由Hahiro定义的，几年前，他表现出了以下令人惊讶的结果：“两个结的Vassiliev不变的必要条件是相等的，就是它们以C_K-MOVE的速度移动。”通过将结（称为C_K等效类）除以结（称为C_K等效类）而获得的等效类成为换向组下的助理组。这是Hahiro串联理论证明的关键点。通常在结理论中处理的空间图之一称为空间θ曲线。还可以为空间θ曲线定义C_K-MOVE，但是我最近的研究表明，在称为顶点串联总和的操作下，空间θ曲线的C_K等效类具有一个组结构，并且k k较低。顺便说一句，发现获得了与Hahiro定理相同的结果。由c_k等效类形成的组与由空间θ曲线的C_K等效类形成的组形成的组之间的主要区别在于，调节显然是一个交换组，而空间θ曲线很难确定在订单k时是否是交换的。以下是2001年的研究结果。[定理]如果组是交换性的，则空间θ曲线的C_K等效类别，这是两个空间θ曲线的vassiliev不变性的必要和足够条件。因此，研究空间θ曲线的C_K等效类形成的组是否是合理的，这是一个重要的问题。相反，以下是2002年获得的。[定理]由空间θ曲线的C_K等效类形成的组为k [如果它超过或相等的话，则可以交通量，如果它是可交换的，则该曲线是超过或相等的，然后是12个。

项目成果

Akira Yasuhara: "C_k-moves on spatial theta-curves and Vassiliev invariant"Topology and its Applications. 128. 309-324 (2003)

Akira Yasuhara：“C_k 在空间 theta 曲线上移动和 Vassiliev 不变量”拓扑及其应用。

Kouki Taniyama, Akira Yasuhara: "Clasp-pass move on knots, links and spatial graphs"Topology and its Applications. 122. 501-529 (2002)

Kouki Taniyama、Akira Yasuhara：“结、链接和空间图上的扣环移动”拓扑及其应用。

K.Taniyama, A.Yasuhara: "Band description of knots and Vassiliev invariants"Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society. (掲載予定).

K.Taniyama、A.Yasuhara：“结和 Vassiliev 不变量的带状描述”剑桥哲学会数学会刊（待出版）。

Kouki Taniyama, Akira Yasuhara: "Band description of knots and Vassiliev invariants"Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 133. 325-343 (2002)

Kouki Taniyama、Akira Yasuhara：“结和 Vassiliev 不变量的带状描述”剑桥哲学会数学会刊。

K.Taniyama, A.Yasuhara: "Clasp-pass moves on knots, links and spatial graphs"Topology and its Applications. (掲載予定).

K.Taniyama、A.Yasuhara：“扣环在结、链接和空间图上移动”拓扑及其应用（待出版）。