非圧縮流体の運動方程式に対する実解析的研究

不可压缩流体运动方程的实用分析研究

• 批准号: 12874027
• 负责人: 宮川 鉄朗
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2000 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12874027/
• 关键词: 非圧縮流体の運動方程式; 初期値境界値問題; 安定性; 漸近挙動; Besov空間; 時空ノルム評価; 特異極限; 初期値問題; 特異点; 渦運動; 平均曲率; 指数

代表者宮川は全空間と半空間において非圧縮粘性流体の方程式の解の時空漸近形を考察し、空間無限遠方での挙動にある拘束条件を課した場合に、解がガウス型関数を用いて漸近展開できることを示した。またこの結果を用いて一般の弱解に対してエネルギー減衰率の下限の存在を示し、それを越える減衰率を持つ解は必然的にある種の対称性を持つこと、またその対称性の形は全空間の場合と半空間の場合とでは異ることを示した。この考察では、Besov空間における種々の線形積分作用素の実解析的性質が有効に用いられた。また全空間の場合に、対称性を持つ解の減衰率が従来の予想より大きいことを示した。この中間の減衰率を持つ解の存在・非存在についての研究は、今後の課題である。他方半空間の場合には、展開第一項が初期値と解自身の相互作用の形で記述されるため、得られた最適な減衰率を持つ解の存在が、まだ明示的には知られていない。その一方で、その「最適減衰率」を越える解のクラスは容易に構成できる。全空間と半空間の流れに見られるこれらのギャップの由来の解明が、今後の課題である。さらに代表者は、上の結果を外部領域の流れに拡張するため、外部問題の解のモーメントの評価を試み、線形放物型方程式の解の正則性に関する最新の結果を用いて、ほぼ満足できる評価式を導いた。これを用いることで、外部領域の流れの漸近挙動を直接調べることが可能になり、展開第一項が一般に可積分関数ではなく、かつその係数が物体に働く抗力を表すことが示された。この事実は定性的にはすでに知られていたが、具体的な関数を用いて主要項を表示したのはこれが最初である。この結果については現在論文を執筆中である。分担者中西は、相対論的場の量子論で重要な非線形分散型波動の漸近挙動を研究し、局所相互作用、非局所相互作用の双方の場合に、非線形項の影響を明示する形での非相対論的漸近形を導き、それが非線形のSchrodinger方程式に支配されることを示した。二次の相関数を持つ振動積分作用素の漸近展開を用い、時空両方向での解の挙動を精密に測るために、解の挙動の特性を考慮しつつ、その存在領域を2進分解し、最後にその総和をとって時空可積分性を示す巧妙な手法が有効に適用された。この手法は中西自身の創意になるもので、広範な応用可能性を持ち、将来非線形偏微分方程式を研究する際の極めて有力な手段として期待される。

宫川代表检查了所有和半个空间中不可压缩的粘性流体方程的溶液的空间渐差形式，并表明，当对空间无穷大的行为对行为施加约束时，可以使用高斯函数渐近地扩展溶液。使用此结果，我们已经表明，一般弱溶液的能量衰减速率的下限，并且具有阻尼速率的溶液超出了一定的对称性，并且对称形状在整个空间和半空间的情况下是不同的。在此考虑中，有效地使用了BESOV空间中各种线性积分算子的实际分析性能。它还表明，对称溶液的衰减率比整个空间中预期的要大。研究中间衰减率的存在和缺乏解决方案是未来的挑战。在另一个半空间情况下，膨胀的第一项以初始值和解本身之间相互作用的形式描述，因此尚不清楚具有最佳衰减率的解决方案的存在。另一方面，可以轻松构建超过“最佳阻尼率”的一类解决方案。未来的挑战将是阐明在整个空间和半个空间的流中看到的这些差距的起源。此外，代表性试图评估外部问题的解决方案的力矩，以将上述结果扩展到外部域的流量，并使用了有关解决方案对线性抛物线方程的规律性的最新结果，以得出几乎令人满意的评估方程。使用此功能，可以直接检查外部区域中流的渐近行为，这表明膨胀的第一项通常不是可集成的函数，并且系数代表作用于对象上的阻力力。这一事实已经在定性上是已知的，但这是我们第一次使用具体功能显示主要术语。我目前正在撰写有关这一发现的论文。在相对论领域的量子理论中，共享者nakanishi研究了重要的非线性分散波的渐近行为，并以明显的方式揭示了非局部性和非局限性相互作用的非线性术语的影响，并表明了非线性术语是非线性的schrodinger schrodinger equrodinger equrodinger equrodinger equarodinger equarodinger equarodinger equarodinger schrodinger schrodinger equardection。为了准确地衡量解决方案的二元行为特征，使用熟练的方法，使用熟练的方法在时空和时空方向上进行了有效应用，并最终使用其存在的二元分解，并最终将其总和显示出空间时间集成。这种方法是Nakanishi本人创造的，并且具有广泛的应用，并且有望成为对非线性偏微分方程的未来研究的极大工具。

项目成果

Yoshiko Fujigaki: "Asymptotic profiles of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in the whole space"SIAM Journal on Mathematical Analysis. 33. 523-544 (2001)

Yoshiko Fujigaki：“整个空间中非平稳不可压缩纳维-斯托克斯流的渐近轮廓”SIAM 数学分析杂志。

Shuji Machihara: "Nonrelativistic limit in the energy space for nonlinear Klein-Gordon equations"Mathematische Annalen. (印刷中).

Shuji Machihara：“非线性 Klein-Gordon 方程能量空间中的非相对论极限”Mathematische Annalen（正在出版）。

Yoshiko Fujigaki: "Asymptotic profiles of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in the half-space"Methods and Applications of Analysis. (発表予定).

Yoshiko Fujigaki：“半空间中非平稳不可压缩纳维-斯托克斯流的渐近轮廓”分析方法和应用（待提交）。

Yoshiko Fujigaki: "On solutions with fast decay of nonstationary Navier-Stokes system in the half-space"Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics. 1(印刷中). (2002)

藤垣芳子：“半空间中非平稳纳维-斯托克斯系统的快速衰减解决方案”数学物理及相关主题中的非线性问题 1（出版中）。

Tetsuro Miyakawa: "Notes on space-time decay properties of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows R^n"Funkcialaj Ekvacioj. 45(印刷中). (2002)

Tetsuro Miyakawa：“非平稳不可压缩纳维-斯托克斯流 R^n 的时空衰变特性的注释”Funkcialaj Ekvacioj 45（出版中）。