3次元ユークリッド空間の極小曲面とその自然な双曲型空間への変形について

三维欧几里得空间中的极小曲面及其向双曲空间的自然变换

• 批准号: 06740062
• 负责人: 梅原 雅顕
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740062/
• 关键词: 極小曲面; ガウス写像; 双曲型空間; 平均曲率; フラックス

研究計画に基づき研究を行い、下記のような成果を得た。1.与えられた3次元Euclid空間R^3の極小曲面をGauss写像とHopf微分を不変にしながら3次元双曲型空間H^3の平均曲率1の曲面へ変形する問題について、東北大のWayne Rossman氏および熊本大の山田光太郎氏との共同研究により、一つの充分条件を与えることに成功し、多くの対称性をもつ、genusの高いH^3の完備有限全曲率をもつ平均曲率1の曲面を数多く新しく構成した。さらに上述の研究過程において、H^3の平均曲率1の曲面の双対性が本質的に重要な役割を果たすことが判明した。この双対性の応用として与えられたGauss写像とHopf微分をもつH^3の平均曲率1の曲面の変形空間が初期曲面の性質に応じてH^3の0、1あるいは3次元の全測地的部分多様体の構造をもつことを証明した。2.上述の問題に関連し、本研究では、「総和が0になるベクトルの組を与えたとき、それらをフラックス・ベクトルとしてもつR^3の極小曲面が存在するか」というフラックス公式の逆問題に取り組み、エンドの数が4の場合には大阪大学の加藤信氏、熊本大学の山田氏と共同研究によってこの問題は総和が0のほとんど全てのベクトルの組に対して逆問題が解け、一方では、逆問題が解けないような例外的なベクトルの組があることも明らかにした。3.上記の研究のため、幾何、解析、代数の図書を必要の応じ購入し、さらに研究会およびシンポジウム等に参加し、多くの研究者と研究連絡を行った。

我们根据研究计划进行了研究，并取得了以下成果。 1.关于在保持高斯映射和Hopf微分不变的情况下，将给定三维欧几里得空间R^3中的最小曲面变换为三维双曲空间H^3中平均曲率为1的曲面的问题，东北大学韦恩通过与熊本大学的Rossman先生和Kotaro Yamada先生的联合研究，我们成功地给出了具有许多对称性的平均曲率1的充分条件和高亏格的H^3的完全有限总曲率的许多新曲线。构建了表面。此外，在上述研究过程中，发现平均曲率为1的H^3表面的对偶性起着本质上重要的作用。作为这种对偶性的应用，给出高斯图和 Hopf 导数的 H^3 平均曲率 1 表面的变形空间是 H^3 的 0 维、1 维或 3 维总大地测量空间，具体取决于我们证明了它具有子流形的结构。 2.与上述问题相关，在本研究中，我们研究了通量公式的逆：“给定一组总和为0的向量，是否存在将这些向量作为通量向量的R^3的最小曲面？”解决这个问题，如果末端数是 4本例中，通过与大阪大学的 Shin Kato 先生和熊本大学的 Yamada 先生的联合研究，对于几乎所有和为 0 的向量对，这个问题都可以解决，但另一方面，对于逆向量的情况问题无法解决。还发现存在一组特殊的向量。 3.为了上述研究，我根据需要购买了几何、分析、代数方面的书籍，参加了学习小组和研讨会，并与许多研究人员进行了交流。