Differential geometrey of singularities and its applications

奇点微分几何及其应用

• 批准号: 21H00981
• 负责人: 梅原 雅顕
• 金额: $ 11.07万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21H00981/
• 关键词: 特異点; 曲面; 曲率; 波面; 超曲面; 半正定値計量; 交叉帽子

１．分担者の山田氏，佐治氏，協力者の本田氏，直川氏との共同研究として，波面について知られるZakalyukinの補題をフロンタル特異点にまで拡張し応用を与えた．特に以前，筆者等が与えたツバメの尾の判定条件の証明が簡明になった．関連して，フロンタルではないが，曲面に現れる主要な特異点である「交叉帽子特異点」についても同様の研究を行い，Zakalyukin 型の定理を証明することに成功した．これらを２つの論文にまとめた．２．3次元de Sitter空間の平均曲率1の空間的な曲面として，「不動点をもつ１係数等長変換群」で不変な曲面が複数存在し，G-catenoid とよばれる．分担者の山田氏・ラスマン氏，協力者の藤森氏，國分氏，川上氏，Yang氏らと，それらの多くが，非自明な解析的な拡張をもち，２次元Double-Cone manifoldの構造をもつことを示した．さらに，この事実から，拡張後のG-catenoidが，これ以上の解析的拡張をもたないことが示せた．この成果は論文として現在投稿中である．３．ローレンツ・ミンコフスキー時空における超曲面は，すべての点で誘導計量が退化するとき「光的」であるという．分担者の山田氏，協力者の赤嶺氏，本田氏との共同研究により，光的な超曲面で対応する光的ベクトル場が完備となるものは，ユークリッド空間の超曲面の平行曲面族から構成されるものに限ることを示し，いくつかの重要な応用を与えた．この成果は，論文として現在投稿中である．４．「三次元球面に，はめ込まれた平坦トーラスの直径が，球面の直径に一致するだろう」という予想に長年，筆者は取り組み成果を積んできたが，協力者の北川氏，榎本氏らと共同研究を行い，１つの新たな知見を得ることができた．これを基に今後も研究を継続していく所存である．

1.作为与我的合作者山田先生和佐治先生以及我的合作者本田先生和直川先生的联合研究，我将关于波前的扎卡柳金引理扩展到并应用到额奇点。尤其是作者之前给出的确定燕尾的条件的证明变得更加简单。与此相关的是，我们对“十字帽奇点”（不是额叶奇点，而是表面上出现的主要奇点）进行了类似的研究，并成功证明了扎卡柳金型定理。这些结果总结在两篇论文中。 2、作为3维德西特空间中平均曲率为1的空间曲面，存在多个与“不动点的一系数等距变换群”不变的曲面，称为G-链状曲面。 Yamada 先生和 Rathmann 先生，以及合作者 Fujimori 先生、Kokubun 先生、Kawakami 先生、Yang 先生以及他们中的许多人进行了非平凡的分析扩展，并开发了二维双锥流形的结构。结果表明此外，这一事实表明，扩展的 G-catenoid 没有任何进一步的解析扩展。该结果目前正在以论文形式提交。 3.如果诱导度量在每个点都退化，则洛伦兹-闵可夫斯基时空中的超曲面被称为“光学”超曲面。通过与合著者山田先生以及合作者赤岭先生和本田先生的共同研究，我们发现具有完整对应光矢量场的光学超曲面由欧几里德空间中的平行曲面族组成。仅限于可以做的事情，并给出了几个重要的应用。该结果目前正在以论文形式提交。 4.多年来，作者一直在与合作者北川先生和北川先生合作，致力于“装配到三维球体中的扁平环面的直径将与球面的直径相匹配”的猜想。榎本，我们进行了研究并获得了一项新发现。基于此，我们打算在未来继续进行研究。

项目成果

Criteria of unextendability of the images of real analytic maps and their application for constant mean curvature one surfaces in de Sitter 3-space

实解析图像的不可延展性判据及其在德西特3空间中常平均曲率曲面上的应用

• 发表时间: 2022
• 作者: Zemmoto C;Arahori M;Matsumoto Y;Inoue-Murayama M;梅原雅顕
• 通讯作者: 梅原雅顕

Null hypersurfaces as wave fronts in Lorentz-Minkowski space

洛伦兹-闵可夫斯基空间中作为波前的零超曲面

• 发表时间: 2022
• 作者: Ishihara Kai;Shimokawa Koya;梅原雅顕
• 通讯作者: 梅原雅顕

３次元 Euclid 空間の曲面の特異点の対称性について

三维欧几里得空间中曲面奇点的对称性

• 发表时间: 2021
• 作者: Ishihara Kai;Shimokawa Koya;梅原雅顕;辻本優友・池田 譲;Shigeharu Takayama;梅原雅顕
• 通讯作者: 梅原雅顕