特異性を持つ曲面の局所的性質と構成法に関する研究

奇异曲面局部性质及构造方法研究

基本信息

批准号：
22K13914
负责人：
寺本圭佑
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本年度は、主としてガウス曲率が負で一定である擬球的曲面の焦面とフロンタル曲面のガウス写像の特異性について研究を行た。これらについて得られた成果は以下のとおりである。１．擬球的曲面の最も基本的な例はベルトラミの擬球と呼ばれる曲面である。この曲面は、犬跡線と呼ばれる平面曲線の回転面として与えられる。また、犬跡線の縮閉線（焦線）は、懸垂線に対応することから、ベルトラミの擬球の焦面は懸垂面（極小曲面）となることが知られていた。本研究では、擬球的曲面の可積分条件であるサイン・ゴルドン方程式の解を用いて、擬球的曲面の焦面が極小曲面になるための条件を与えた。また、その解はディニ曲面に限ることや、焦面が懸垂面から常螺旋面の等長変形を与えることを示した。２．波面でないフロンタル曲面において、その特異点ではガウス写像が特異点を持つことが知られていた。これは波面にはない性質である。本研究では、特異点集合の像が正則曲線となるクラスのフロンタル曲面に対して、そのガウス写像の特異点を幾何学的性質を用いて特徴づけた。特に、波面とは異なる事象として、フロンタル曲面のガウス写像には、階数零の特異点が現れ得ることや、その特異点型がシャークスフィンになるための幾何学的な条件を与えた。これらの研究のほかに、３次元ミンコフスキー空間内の混合型波面や(m,n)-型カスプ辺についての研究を行った。混合型波面については、特異点としてカスプ辺を持つ場合に研究を進めた。本研究では、混合型カスプ辺の標準形を与えた。(m,n)-型カスプ辺については、特異点におけるガウス曲率や平均曲率の有界性・非有界性や発散のオーダーに関して幾何学的性質や特異点型との関係を明らかにした。

今年我们主要研究高斯曲率为负且恒定的赝球面焦面和额面高斯映射的奇异性。在这方面获得的结果如下。 1.赝球面最基本的例子是称为贝尔特拉米赝球面的表面。该曲面作为被称为狗迹线的平面曲线的旋转面而给出。另外，由于狗轨迹的渐进线（焦线）对应于悬链线，因此可知贝尔特拉米赝球面的焦平面是悬链线面（最小曲面）。在本研究中，我们利用赝球面的可积条件Sine-Gordon方程的解，给出了赝球面的焦面成为极小曲面的条件。我们还表明，该解决方案仅限于迪尼曲面，并且焦平面给出从悬浮曲面到普通螺旋曲面的等距变形。 2.已知高斯图在不是波前的正面的奇点处具有奇点。这是波面所没有的特性。在本研究中，我们利用几何特性描述了一类正面的高斯图的奇点，其奇点集的图像是一条规则曲线。特别是，我们发现额面高斯图中可以出现零阶奇点，这是一种与波前不同的现象，并且给出了该奇点类型成为鲨鱼鳍的几何条件。除了这些研究之外，我们还对三维Minkowski空间中的混合波前和(m,n)型尖点边缘进行了研究。关于混合波前，我们研究了它们具有尖点边缘作为奇点的情况。在这项研究中，给出了混合尖点边缘的标准形式。对于(m,n)型尖点边缘，我们阐明了奇点处高斯曲率和平均曲率的有界/无界以及发散阶数的几何性质与奇点类型之间的关系。