多様体上のシュレディンガ-作用素に対する確率論的アプロ-チについて

流形上薛定谔算子的概率方法

基本信息

批准号：
02640167
负责人：
松本裕行
金额：
--
依托单位：
Gifu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1990
资助国家：
日本
起止时间：
1990 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02640167/
关键词：
シュレディンガ-作用素磁場固有値漸近分布

项目摘要

本年度は主として、磁場の中のシュレディンガ-作用素の固有値に対する漸近分布について研究を進めた。その結果、強い磁場又は遠方で早く発散するスカラ-ポテンシャルをもつシュレディンガ-作用素に対するほぼ最終的ともいえる一般的な結果を得た。手法は対応する半群のトレ-スを考えて、時間パラメ-タ-を0に近づけたときの漸近挙動を調べ、最後にタウバ-型定理を使うという、いわゆるKacの方法である。トレ-スの漸近挙動に対して一般的な公式を与えたのが成果の重要な部分であり、結果の仮定からはずれるとトレ-スそのものが存在しないと思われ、この方面の最終的な結果と言えると考えている。課題に挙げた確率論的手法についても、証明の中で有用であるばかりか、本質的に使った。つまり磁場を考える際には確率面積に対するLe^^´vyの公式が重要で、考えない場合も含めてFeynmanーKacの公式ともども、結果の予測及び証明の中で本質的な役割を果した。これらは本年度中に2編の論文で、成果の一部を発表できた。上に挙げたものは通常のユ-クリッド空間上で考えたシュレディンガ-作用素に対する研究だが、課題の1つの多様体上で考えた作用素に対しても、池田信行氏との共同研究により同様の結果を得た。これにより結果の幾何学的意味等が明らかになった。これについても発表が決っているが、幾何学的に不満のある仮定の下でないと証明できないので未だ研究の余地があると考えられる。次に固有値の現れ方を詳しく見ようと、量子カオスに関する文献により学習を進めた。固有値どうしの差を見ようとする重要な問題である。また第1、第2固有値の差については他の方法を使って研究を進めているがまとめるに至っていない。

今年，我们主要研究了磁场中薛定谔算子特征值的渐近分布。结果，我们得到了一个总体结果，对于标量势在强磁场或长距离下快速发散的薛定谔算子来说，可以说几乎是最终的。该方法就是所谓的Kac方法，考虑相应半群的迹，考察时间参数接近0时的渐近行为，最后利用Tauber型定理。结果的一个重要部分是，我们给出了迹线渐近行为的通用公式，如果偏离结果的假设，则认为迹线本身不存在，而这方面的最终结果我我想你可以这么说。问题中提到的概率方法不仅在证明中有用，而且本质上也被使用。换句话说，Le^^´vy 的概率区域公式在考虑磁场时很重要，并且与 Feynman-Kac 公式一起，即使在不考虑磁场的情况下，它在预测和证明结果方面也发挥了重要作用。今年我们在两篇论文中发表了其中一些结果。以上是在普通欧几里得空间上考虑的薛定谔算子的研究，但我们通过与池田伸行的联合研究，也对在我们研究的流形之一上考虑的算子进行了类似的研究，得到了结果。这阐明了结果的几何意义。尽管已决定对此进行演示，但仍有研究空间，因为除非在几何上不令人满意的假设下，否则无法证明这一点。接下来，为了更仔细地了解特征值是如何出现的，我们研究了有关量子混沌的文献。这是一个重要的问题，涉及观察特征值之间的差异。我们也在利用其他方法对第一和第二特征值的差异进行研究，但还没有得出结论。