多様体上のシュレディンガ-作用素に対する確率論的アプロ-チについて

流形上薛定谔算子的概率方法

基本信息

批准号：
02640167
负责人：
松本裕行
金额：
--
依托单位：
Gifu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1990
资助国家：
日本
起止时间：
1990 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02640167/
关键词：
シュレディンガ-作用素磁場固有値漸近分布

项目摘要

本年度は主として、磁場の中のシュレディンガ-作用素の固有値に対する漸近分布について研究を進めた。その結果、強い磁場又は遠方で早く発散するスカラ-ポテンシャルをもつシュレディンガ-作用素に対するほぼ最終的ともいえる一般的な結果を得た。手法は対応する半群のトレ-スを考えて、時間パラメ-タ-を0に近づけたときの漸近挙動を調べ、最後にタウバ-型定理を使うという、いわゆるKacの方法である。トレ-スの漸近挙動に対して一般的な公式を与えたのが成果の重要な部分であり、結果の仮定からはずれるとトレ-スそのものが存在しないと思われ、この方面の最終的な結果と言えると考えている。課題に挙げた確率論的手法についても、証明の中で有用であるばかりか、本質的に使った。つまり磁場を考える際には確率面積に対するLe^^´vyの公式が重要で、考えない場合も含めてFeynmanーKacの公式ともども、結果の予測及び証明の中で本質的な役割を果した。これらは本年度中に2編の論文で、成果の一部を発表できた。上に挙げたものは通常のユ-クリッド空間上で考えたシュレディンガ-作用素に対する研究だが、課題の1つの多様体上で考えた作用素に対しても、池田信行氏との共同研究により同様の結果を得た。これにより結果の幾何学的意味等が明らかになった。これについても発表が決っているが、幾何学的に不満のある仮定の下でないと証明できないので未だ研究の余地があると考えられる。次に固有値の現れ方を詳しく見ようと、量子カオスに関する文献により学習を進めた。固有値どうしの差を見ようとする重要な問題である。また第1、第2固有値の差については他の方法を使って研究を進めているがまとめるに至っていない。

今年，我们主要对磁场中Schrodinger操作员在特征值中的渐近分布进行研究。结果是具有标量电势的Schrodinger运算符在强磁场或远处迅速发散的一般最终结果。该方法是所谓的KAC方法，它考虑了相应的半群的痕迹，它检查了将时间参数带到零接近零时，并最终使用tauber型定理时检查了渐近行为。结果的一个重要部分是，我们为发束的渐近行为提供了一个通用公式，如果我们偏离结果的假设，则TRESSES本身似乎不存在，我们相信这是这一方面的最终结果。任务中提到的概率方法不仅在证明中有用，而且基本上使用。换句话说，在考虑磁场时，概率区域的Le ^^'Vy公式很重要，即使不考虑它，即使与Feynman-Kac公式一起考虑，也在预测和验证结果方面发挥了重要作用。这两篇论文在今年发表，其中一些结果发表了。以上是对正常UCLID空间中被考虑的Schrodinger操作员的研究，但是通过与Ikeda Nobuyuki的联合研究获得了类似的结果，这些操作员在任务的一个歧视中被认为。这揭示了结果的几何含义。这也宣布了这一点，但是人们认为，除非几何不满意的假设，否则仍有研究余地。接下来，我们通过有关量子混乱的文献继续学习，以仔细研究特征值的外观。这是一个重要的问题，试图看到特征值之间的差异。此外，已经使用其他方法进行了研究以确定第一和第二特征值之间的差异，但尚未得出结论。