確率解析とそのシュレディンガー作用素の解析への応用

随机分析及其在薛定谔算子分析中的应用

基本信息

批准号：
08640267
负责人：
松本裕行
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640267/
关键词：
シュレディンガー作用素準古典極限直交多項式跡項式

项目摘要

今年度はユークリッド空間上のシュレディンガー作用素に対する準古典極限の問題およびそこで必要となる2次のハミルトニアンのスペクトルに関して研究した。またリーマン面のスペクトルを調べるためのセルバーグ跡公式について研究した。シュレディンガー作用素に対して固有値、固有関数、散乱行列などの特性量のプランク定数をパラメーターと考えて0に近づけたときの漸近挙動を調べて対応する古典力学の特性量によって表現する問題を準古典極限の問題というが、今年度は磁場をもつ作用素の固有値に対して研究を進め効果を挙げた。このためには対応する古典力学を決めるハミルトニアンが相空間上の2次の多項式によって与えられる作用素で非負のものが重要になるが、これに対してスペクトルの完全な決定を与えた。またスペクトルが固有値のみからなる場合には固有関数は直交多項式系をなし、エルミート多項式、複素エルミート多項式を含む直交多項式系の族が得られることも示した。以上の研究は2編の論文にまとめて発表した。またコンパクトなリーマン面上のラプラシアンの固有値が対応する古典力学である測地線によって決定されることを示すのがセルバーグ跡公式であるが、これを確率解析を用いて簡明に再証明した。これにより物理学者の経路積分を用いた跡公式に関する議論が正当化され、理解を一層深めることができる。これは近日中に発表の予定である。さらに一般化されたマ-スラプラシアンに対する跡公式についても同様の考えが適用でき、従来扱うことのできなかった跡公式を示すことが可能かどうか現在研究を進めている。

今年，我们研究了欧几里得空间中Schrodinger操作员的半经典限制以及其中所需的二阶汉密尔顿人的光谱的问题。我们还研究了Selberg痕量公式，用于检查Riemann表面的光谱。准经典限制的问题是一个问题，在这个问题中，将特征数量，特征值，特征功能，散射矩阵等的特征数量的普朗克常数作为参数进行了检查，并使用相应的经典力学特征数量表达，并使用Quasi-Classical Limits表示。今年，我们一直在研究具有磁场的操作员的特征值，并已被证明是有效的。为此，确定相应经典力学的哈密顿量对于非负值的二次多项式给出的操作员很重要，该操作员是非负数的，但给出了完整的光谱测定。还显示，当频谱仅由特征值组成时，特征功能形成正交多项式系统，并且可以获得一个正交多项式系统（包括遗传性多项式和复杂的Hermitian hermitian多项式）的家族。上述研究发表在两篇论文中。 Selberg Trace公式还表明，紧凑型Riemann表面上Laplacian的特征值由Geodesic Line（相应的经典力学）确定，仅使用概率分析重新证实。这证明了物理学家使用路径积分关于痕迹公式的辩论，并可以更加理解。这计划将很快宣布。此外，类似的想法可以应用于马斯拉普拉斯人的广义标记公式，我们目前正在研究是否有可能显示以前尚未处理过的标记公式。