確率解析とそのシュレディンガー作用素の解析への応用

随机分析及其在薛定谔算子分析中的应用

基本信息

批准号：
08640267
负责人：
松本裕行
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640267/
关键词：
シュレディンガー作用素準古典極限直交多項式跡項式

项目摘要

今年度はユークリッド空間上のシュレディンガー作用素に対する準古典極限の問題およびそこで必要となる2次のハミルトニアンのスペクトルに関して研究した。またリーマン面のスペクトルを調べるためのセルバーグ跡公式について研究した。シュレディンガー作用素に対して固有値、固有関数、散乱行列などの特性量のプランク定数をパラメーターと考えて0に近づけたときの漸近挙動を調べて対応する古典力学の特性量によって表現する問題を準古典極限の問題というが、今年度は磁場をもつ作用素の固有値に対して研究を進め効果を挙げた。このためには対応する古典力学を決めるハミルトニアンが相空間上の2次の多項式によって与えられる作用素で非負のものが重要になるが、これに対してスペクトルの完全な決定を与えた。またスペクトルが固有値のみからなる場合には固有関数は直交多項式系をなし、エルミート多項式、複素エルミート多項式を含む直交多項式系の族が得られることも示した。以上の研究は2編の論文にまとめて発表した。またコンパクトなリーマン面上のラプラシアンの固有値が対応する古典力学である測地線によって決定されることを示すのがセルバーグ跡公式であるが、これを確率解析を用いて簡明に再証明した。これにより物理学者の経路積分を用いた跡公式に関する議論が正当化され、理解を一層深めることができる。これは近日中に発表の予定である。さらに一般化されたマ-スラプラシアンに対する跡公式についても同様の考えが適用でき、従来扱うことのできなかった跡公式を示すことが可能かどうか現在研究を進めている。

今年，我们研究了欧几里德空间上薛定谔算子的准经典极限问题以及那里所需的二阶哈密顿量的谱。我们还研究了用于检查黎曼曲面谱的塞尔伯格迹公式。将特征值、特征函数、散射矩阵等特征量的普朗克常数作为薛定谔算子的参数，研究趋近于0时的渐近行为，并解决用经典力学中相应特征量表示的问题关于准经典极限问题，今年我们对带磁场的算子特征值进行了研究，并取得了成果。为此，重要的是确定相应经典力学的哈密顿量是由相空间上的二阶多项式给出的非负算子，为此我们给出了谱的完整确定。还表明，当频谱仅由特征值组成时，特征函数形成正交多项式系统，并得到包括Hermite多项式和复Hermite多项式在内的一族正交多项式系统。上述研究成果被总结并发表在两篇论文中。此外，塞尔伯格迹公式表明，紧致黎曼曲面上的拉普拉斯算子的特征值是由经典力学中相应的测地线确定的，并且利用概率分析简单地证明了这一点。这使得物理学家使用路径积分对迹公式的讨论合法化，并且可以进一步加深我们的理解。预计这将在不久的将来宣布。此外，类似的想法可以应用于广义火星拉普拉斯的迹公式，我们目前正在进行研究，看看是否有可能显示以前无法处理的迹公式。