多様体上のシュレディンガー作用素に対する確率論的アプローチについて

流形上薛定谔算子的概率方法

基本信息

批准号：
62540147
负责人：
松本裕行
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Gifu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1987
资助国家：
日本
起止时间：
1987 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

1.磁場をもつシュレディンガー作用素に対する準古典近似の理論を構成することを主目標に研究を進めた. 準備として, コンパクトな多様体上で磁場をもたない-△+λV(λは正定数)という形のパラメーターの入ったシュレディンガー作用素に対する熱方程式を考え, その解に対する準古典極限λ→∞を考え, その解に対する準古典極限λ→∞を考えたときの漸近挙動について調べた. その結果Vを最小にする点とそれ以外の点とで, 解が非常に異なる挙動をすることを証明した. これはSimon等の結果からある程度予想されるものであるので, さらに考察を進め磁場をもつ場合にも同様の結果を, 2種類の作用素に対して得た. 未だ磁場をもつシュレディンガー作用素に対する準古典近似に理論はなく, 上の結果はその手掛かりになると考え, Zeeman効果等物理学で知られた結果を考え合せて考察を進めてきたが, まとめるには至っていない.2.またトーラス内の1/2-スピンをもつ粒子の磁場の中での運動を記述するシュレディンガー作用素に対する固有値の漸近分布についての結果を得た. 一般の多様体上でPauli行列をいかに定義するか, ということがこれからの課題で, これができれば, スピンを考えない場合のシュレディンガー作用素に対する, 良く知られた固有値の漸近分布と同様の結果が得られるので興味深い. これは近くまとめたいと考えている.3.研究課題に関連して, 2階の偏微分作用素に対するultra-contractivityについて学習をし, 1次元の場合, 非常に広いクラスの作用素に対してこれが成立することを証明し, 十分条件を与えた. この結果は, 以前から研究を進めていた1次元のstochastic flowの問題と深い関係があり, 両方を合せて論文にまとめた.

1.我们研究的主要目标是构建一个有磁场的薛定谔算子的准经典近似理论。作为准备，我们构建了无磁场的-△+λV（λ为正常数）理论考虑具有以下形式参数的薛定谔算子的热方程，并考虑其解的准经典极限 λ→∞，我们在考虑解的准经典极限 λ→∞ 时研究了渐近行为，结果证明，在 V 最小化的点和其他点，解的行为非常不同，因为这在某些情况下是可以预期的。从Simon等人的结果来看，我们进行了进一步的考虑，在磁场的情况下，两类算子得到了相似的结果，没有任何理论。我认为上面的结果是一个线索，我一直在结合物理学中已知的结果（例如塞曼效应）来考虑它，但我无法总结它。 2．我们得到了特征值渐近分布的结果。对于描述磁场中粒子运动的薛定谔算子。未来的挑战是如何定义一般流形上的泡利矩阵，如果我们能做到这一点，那么这很有趣，因为当不考虑自旋时，它会产生与众所周知的薛定谔算子特征值渐近分布相似的结果。我希望尽快总结这一点。3。我们了解了偏微分算子的超收缩性，并且在一维情况下，我们证明这对于非常广泛的运算符类别是成立的，并给出了充分的条件，结果如下。这与我研究了一段时间的一维随机流问题密切相关，所以我将它们合并成一篇论文。