解析的手法による確率過程の研究

使用分析方法研究随机过程

基本信息

批准号：
21K03298
负责人：
松本裕行
金额：
$ 1.25万
依托单位：
Aoyama Gakuin University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

正定値行列の空間上のラプラシアンの岩澤座標による表示を調べることによって，解析に役立つ表示を与えた．2次元，3次元，4次元の場合の表示を具体的に書き下すことにより，次元に関する帰納的な関係を予想し，実際に一般の次元の場合にも解析に役に立つ表示を得ることができた．応用として対応する拡散過程について，固有値が指数増大または指数減少し，指数部分に関する大数の法則の形で長時間漸近挙動が知られている．上述のラプラシアンの表示を用いることによって，行列式が幾何ブラウン運動と同じ確率分布をもつこと，最大および最小固有値に対して指数部分の中心極限定理を証明し専門誌に発表した．ユークリッド空間上のブラウン運動の球面への到達時刻とその位置の同時分布に関して，その確率密度に対する球面調和関数を用いた表示を与え，尾確率に関して調べた．手法は，従来の問題を時空ブラウン運動の調和測度の解析に基づくものと異なり，ブラウン運動のベッセル過程と球面上のブラウン運動の歪積表示に基づく自然なものと思われる．また，到達時刻に関する既知の結果を含むことが直ちに分かる．球面上のブラウン運動を直交射影して得られる確率過程が拡散過程であることが，もう一つの鍵であった．定数ドリフトをもつブラウン運動についても，カメロン-マルチンの定理を用いて上述のドリフトのない場合に帰着できるという以前示した注意に基づき，ドリフトのない場合と同様の結果を示した．

通过检查Laplacian的Iwasawa坐标在正定矩阵空间上的表示，我们为分析提供了有用的指示。通过以具体方式写下2D，3D和4D情况下的显示，我们预测了有关维度的归纳关系，并且能够获得即使在一般维度的情况下也可以获得对分析也很有用的显示。作为一种应用，对于相应的扩散过程，特征值呈指数增长或减少，并且以关于指数部分的大量定律的形式已知长渐近行为。通过使用上面提到的拉普拉斯表示，决定因素具有与几何布朗运动相同的概率分布，并且指数部分的中心极限定理证明了最大和最小特征值的指数零件定理，并在专业杂志上发表了。使用球形谐波函数以其概率密度进行了布朗运动在欧几里得空间中的时间和位置的同时分布，并研究了尾巴概率。该方法与常规问题不同，基于时空布朗运动的谐波度量的分析，并且根据布朗运动的贝塞尔（Bessel）过程和布朗运动在球形表面上的扭曲产物代表性而被认为是自然的。还可以立即显而易见，包括有关到达时间的已知结果。另一个关键是，通过在球形表面上的布朗运动正交投影获得的随机过程是扩散过程。基于先前显示的注释，在使用Cameron-Martin定理上面描述的没有漂移的情况下，可以解决具有恒定漂移的布朗运动，我们显示出与没有漂移的结果相似的结果。