シュレディンガー作用素の埋蔵固有値および閾値レゾナンスの解析

薛定谔算子的埋藏特征值和阈值共振分析

基本信息

批准号：
21K03297
负责人：
野村祐司
金额：
$ 1.91万
依托单位：
University of Hyogo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

離散シュレディンガー作用素の埋蔵固有値と閾値レゾナンスの関係を調べることを研究の目的としている。d次元正方格子上のシュレディンガー作用素のスペクトル、特にポテンシャル摂動による固有値分布への影響に関する精密な研究の必要性を感じ、有限台ポテンシャルをもつ離散シュレディンガー作用素の場合の離散固有値の個数の精密な評価を行ってきた。これは連続スペクトルから離れた多重度有限の離散固有値の評価である。それ以外にも連続スペクトルに埋め込まれた固有値の存在の可能性があり、研究はその方向に向かった。すでに磯崎・森岡により有限台ポテンシャルの場合には連続スペクトルの内部における埋蔵固有値の非存在が示されていた。しかし連続スペクトルの端点においては埋蔵固有値（閾値埋蔵固有値）が存在する可能性があり、これを調べることとした。この研究の過程で、閾値埋蔵固有値の存在・非存在の条件を得るだけでなく、閾値埋蔵固有値をもつポテンシャル全体の集合をP_{s}とし、Persistent 集合（多様体）と名付け、P_{s}の幾何的な構造を明らかにしていくという新たな研究視点を得た。Persistent set (variety)を決定し、その幾何学的構造および、それの特異点と元の作用素のスペクトルとの関係を調べている。このPersistent集合の研究の過程で、固有状態ではないが、連続スペクトルの端点において減衰するシュレデインガー方程式の解を見つけることができた。そこでこれを微分作用素で知られているレゾナント状態との関係において解析していくという研究方向を得ることが出来、特にサポートが有限でないより一般の場合にレゾナンスの意味ある定義を与え、レゾナント状態の無限遠での漸近展開により特徴付けることを目指している。またFermi面上に現れる楕円型、双曲型特異点とレゾナンスの存在との関係に関する研究を推進していく。

这项研究的目的是研究离散薛定谔算子的埋藏特征值与阈值共振之间的关系。感觉到需要对d维方格上的薛定谔算子的谱进行精确研究，特别是势扰动对特征值分布的影响，我们对a情况下的离散特征值个数进行了精确评估我去了具有有限势的离散薛定谔算子。这是对远离连续谱的具有有限重数的离散特征值的评估。连续光谱中嵌入特征值的存在也有可能，并且研究已经朝这个方向发展。 Isozaki和Morioka已经证明，在平台势有限的情况下，连续谱内部不存在隐藏的特征值。然而，连续谱的端点处有可能存在隐藏特征值（阈值隐藏特征值），我们决定对此进行研究。在本次研究的过程中，我们不仅得到了阈值隐藏特征值存在或不存在的条件，而且将所有具有阈值隐藏特征值的势的集合定义为P_{s}，并将其命名为持久集（流形）。我们获得了阐明}几何结构的新研究视角。我们确定一个持久集（品种）并研究其几何结构及其奇点与原始算子谱之间的关系。在研究这个持久集的过程中，我们能够找到薛定谔方程的解，该方程不是本征态，而是在连续谱的端点处衰减。因此，我们能够获得一个研究方向，在该方向上我们分析了与共振态（称为微分算子）的关系，并提供了有意义的共振定义，特别是在支撑不是有限的一般情况下，我们的目标是通过其无穷远的渐近扩张来表征它。我们还将推动费米面上出现的椭圆奇点和双曲奇点之间的关系以及共振是否存在的研究。