線型および非線型の双曲型方程式系の研究

线性和非线性双曲方程组的研究

基本信息

批准号：
01540135
负责人：
静田靖
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Nara Women's University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1989
资助国家：
日本
起止时间：
1989 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

ひとつの中心的な課題は準線型の対称双曲系の初期値境界値問題について、境界が特性的な場合に対して解の局所存在定理を一般的な形で得ることであった。この問題に対して完全な解決は得られなかったが、研究成果は相当あり、特に基礎となる線型の場合についてはほぼ理論は完成の域に達したと思われる。よってあと1年程の研究期間があれば、当面の目標は達成できるであろう。先ず我々が設定したある種の重みつきのソボレフ空間に対してトレ-スの定理とその逆定理を証明した。この定理によれば初期条件を次数mの重みつきソボレフ空間からとった時整合条件はmー2次までしか課すことができないように見える。しかしながら実は別の事情が作用しているのであって実際はmー1次まで整合条件を考えることが出来るし又そうしなければ滑らかな解を得ることが出来ない。このような状況が解明されたことはひとつの大きな成果である。また近似解を構成して一様評価を得た。これは解を求める上で重要なステップになるがいわゆるエネルギ-法を用いて行った。更に準線型の場合を研究する為にこの一様評価を精密化することが必要になるがこれも次数nが一般の場合も込めて解決した。又近似解を用いて真の解を構成する為の函数解析的議論についてもいくつかの改良を行った。以上を要するに線型の場合はほぼ最終目標に達し準線型の場合について研究の途上にあると言うことができる。その他に確率微分方程式を含めて数理物理学上の問題についても若干の結果を得た。代数的構造、幾何的構造についても同様であるが、くわしいことが割愛する。

中心问题之一是获得次线性对称双曲系统初值边值问题的一般局部存在定理，当边界具有特征时。虽然这个问题还没有得到完整的解决方案，但已经有了相当多的研究成果，看起来理论已经基本完成，特别是对于基本的线性情况。因此，如果我们再研究一年左右，我们就能够实现目前的目标。首先，我们针对所建立的某个加权Sobolev空间证明了Trace定理及其逆定理。根据该定理，当初始条件取自 m 阶加权 Sobolev 空间时，时间一致条件只能施加到 m-2 阶。然而，实际上，还有其他情况在起作用，实际上我们可以考虑将条件匹配到m-1阶，否则我们将无法获得顺利的解决方案。这一情况的澄清是一项重大成就。我们还构建了近似解并得到了统一的评价。这是求解的重要一步，我们使用了所谓的能量法。此外，为了研究拟线性情况，有必要改进这种统一评估，但这也解决了，包括阶数n是一般的情况。我们还对泛函分析论证进行了一些改进，以使用近似解构建真实解。综上所述，我们可以说在线性情况下我们已经几乎达到了最终目标，并且仍在研究拟线性情况下。我们还获得了一些关于数学物理问题的结果，包括随机微分方程。代数结构和几何结构也是如此，但详细内容省略。