非可換有限幾何

非交换有限几何

基本信息

批准号：
09874033
负责人：
綿谷安男
金额：
$ 0.77万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09874033/
关键词：
有限幾何 Subfactor ラテン方陣連続幾何 Jones射影子 intermediate subfactor 束(そく)射影幾何

项目摘要

この研究では組み合わせ論的な有限幾何の量子化を作用素環を使って行うことを考えた。Connesは作用素環を使ってリーマン幾何の量子化に成功した。しかし未だ誰も有限幾何の量子化には成功していない。有限幾何の典型的な例として有限体上の射影幾何がある。これはもちろん公理論的な取り扱いがなされている。一方今世紀のかなり昔にvon Neumannは射影幾何の構造が射影空間の部分空間のなす束によって決定されることから、ある種の作用素環の射影のなす束をつかって連続的な射影幾何(いわゆる連続幾何)を導入することに成功した。ところで研究代表者は最近までJonesによって始められたsubfactorの理論を研究していたのであるが、その過程でsubfactorが射影の量子化にあたっているとみなせることに気が付いた。それはいわゆるJones射影子で関連が明示されるにいたったといえよう。そこで本研究ではintermediate subfactorsのなす束を射影全体の作る束の量子化とみなし、これを射影空間の量子化みなすという萌芽的なアイデアを発展させようと試みた。今回の研究では、2個以上のsubfactor達が織りなす相互関係の生み出す有限離散構造を、組合わせ論の立場から探求した。特にintermediate subfactorsのなす有限束を調べた。Subfactor N \$subset\Mが既約であるという仮定のもとに、MとNの間にあるintermediate subfactorsの全体は束をなす。この束の構造をJones index〔M:N〕が有限の時に調べた。特にどのような束がこのようにして実現されるかを考えた。組み合わせ論にでてくる直交するラテン方陣の存在は射影幾何の存在と関係があることはよくしられている。ところでラテン方陣の直交性は、作用素環のcommutaing squareを使って記述できる。そこでsubfactorにたいしてもラテン方陣の類似を導入できる。この時古典的な場合と同じような個数の評価ができるかを考えた。

在这项研究中，我们考虑使用算子代数对有限几何进行组合量化。康尼斯成功地使用算子代数量化了黎曼几何。然而，目前还没有人成功量化有限几何。有限几何的典型例子是有限域上的射影几何。这当然是公理化的。另一方面，早在本世纪，冯·诺依曼就发现射影几何的结构是由射影几何的子空间的格子决定的。顺便说一句，直到最近，研究主任一直在研究琼斯发起的子因素理论，在这个过程中他意识到子因素可以被认为负责预测的量化。可以说，这种关系是通过所谓的琼斯投影仪明确表达出来的。因此，在本研究中，我们将中间子因子形成的丛视为整个投影形成的丛的量化，并尝试发展将其视为投影空间的量化的萌芽想法。在本研究中，我们从组合学的角度探讨了由两个或多个子因素的相互关系创建的有限离散结构。特别是，我们研究了由中间子因子形成的有限束。在子因子 N \$subset\M 不可约的假设下，M 和 N 之间的中间子因子集合形成一个束。当琼斯指数 [M:N] 有限时，研究了该丛的结构。我特别思考了通过这种方式实现了什么样的捆绑。众所周知，组合数学中出现的正交拉丁方的存在与射影几何的存在有关。顺便说一句，拉丁方的正交性可以使用算子代数的交换方来描述。因此，我们也可以为子因子引入拉丁方的类比。此时，我们考虑是否可以评估与经典情况相同数量的棋子。