有限幾何の量子化

有限几何的量化

基本信息

批准号：
10874006
负责人：
綿谷安男
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
1998
资助国家：
日本
起止时间：
1998 至 1999
项目状态：
已结题

项目摘要

この研究では組合せ論的な有限幾何の量子化を作用素環を使って行うことを試みた。Compact Housdorff spaceの量子化がC^*-環であり、群の量子化が量子群であり、測度空間の量子化はvon Neumann環あることは、すでに確立している。そこで、未だ誰も手をつけていない有限幾何の量子化の手始めとして本研究では有限幾何の典型的な例として有限体上の射影幾何をとりあげ、その量子化の可能性を探求してきた。古典的な射影幾何はもちろん公理論的な取り扱いがなされている。その量子化を定式化するのに、von Neumannの連続幾何に注目した。これはII_1型の因子環のなかの射影子のなす束をモデルとしている。部分因子環はその中のJones射影子に対応している。CAR環を考えればわかるように部分空間を量子化すると部分環になる。部分環を取るという量子化の忘却関手が Jones射影子考えることになっていたのだ。これを着眼点として、本研究では中間部分因子環のなす束を射影全体の作る束の量子化とみなし、これを射影空間の量子化みなすという萌芽的なアイデアを研究してきた。しかし研究を実行してみると、中間部分因子環の全体を調べるというのは非常な困難があることがわかった。とにかくおおざっぱな評価をすこしずつ精密化して中間部分因子環の個数を部分因子環のJones指数の函数として表すことはできた。しかし、それはまだ荒すぎて、とても結果といえるものではないが、この方向の第一歩といえよう。この評価のために作用素環の単位球のε球により被覆の個数の具体的な評価の重要性が浮かびあがった。その精密化も次の課題としてしだいにはっきりしてきたのは、成果といってよいだろう。どのような束が中間部分因子環のなす束として実現されるかという問題は、難しすぎて、残念ながらほとんど進展はなかった。

在本研究中，我们尝试使用算子代数来执行组合有限几何的量化。我们已经确定紧致豪斯多夫空间的量化是C^*环，群的量化是量子群，测度空间的量化是冯诺依曼环。因此，作为尚未有人尝试过的有限几何量化的起点，在本研究中，我们以有限域上的射影几何作为有限几何的典型例子，并探讨了其量化的可能性。经典射影几何当然是公理化的。在制定量化时，我们重点关注冯·诺依曼的连续介质几何。这是以 II_1 类型的因子环中的一组投影仪为模型的。子因子环对应于其中的琼斯投影仪。正如你所看到的，如果你考虑 CAR 环，如果你量化一个子空间，它就会变成一个子环。量化的遗忘函子需要一个子环，应该是琼斯投影仪。以此为观点，在本研究中我们研究了将中间部分因子环形成的束视为整个投影形成的束的量化，并将其视为投影空间。然而，在进行研究时发现，检查整个中间子因子环是极其困难的。不管怎样，我能够一点一点地细化粗略的评估，并将中间子因子环的数量表示为子因子环的琼斯指数的函数。不过，虽然这还太粗糙，称不上最终结果，但可以说是朝这个方向迈出了第一步。对于该评估，使用算子代数的单位球体ε-球体具体评估覆盖数的重要性变得清晰。作为下一个挑战，它的改进逐渐变得清晰，这一事实可以被视为一项成就。什么样的丛可以实现为中间子因子环的丛的问题太困难了，不幸的是进展甚微。