可積分保存系における剛性の研究

可积保守系统的刚度研究

• 批准号: 18654033
• 负责人: 伊藤 秀一
• 金额: $ 2.05万
• 依托单位: Kanazawa University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2006
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2006 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18654033/
• 关键词: 保存力学系; シンプレクティック写像; ハミルトン系; 可積分系; バーコフ標準形; 剛性

本研究の目的は可積分保存系(ハミルトン系)の剛性の理解と,その近可積分系への応用にあり,平成20年度は離散ハミルトン系であるシンプレクティック写像のバーコフ標準化の問題を超可積分性の観点から研究した。主たる成果は以下の定理を得たことにある:「fを不動点の近傍で定義された2n次元の解析的シンプレクティック写像とする。もしその不動点が共鳴度q(0≦q≦n)の不動点であり,fがその近傍でn+q個の関数的に独立な解析的第一積分をもつならば,解析的なシンプレクティック変換によってfはバーコフ標準形に変換される。このときのバーコフ標準形は共鳴項をもたないハミルトニアンHの時間1写像として表され,Hはとくにn-q個の変数の関数になる。」この結果については,すでに昨年度の研究で,fを時間tについて(周期1の)周期的なハミルトニアンの時間1写像としてとらえ,その時間依存するハミルトニアンのバーコフ標準化の問題に帰着させる証明を行っていた。しかし今回,そのような手法を用いずに直接定理を証明できる簡明な方法を発見し,標準形の形についても明快な理解を得ることができた。さらに,上記の結果は与えられた写像がパラメータに依存し不動点の共鳴度がパラメータとともに変化する場合にも成り立つことを示した。この結果は正しく可積分系のもつ剛性といえるものであろう。また,この結果をオイラーのコマの運動の解析に応用し,特殊な周期運動(剛体の回転)のまわりで(特異点を許す)作用-角変数が導入できることを示した。以上の成果は,超可積分系の摂動問題の研究を進める上で基礎となる結果と考えられる。

本研究的目的是了解可积保守系统（哈密尔顿系统）的刚度及其在近可积系统中的应用。本研究是从可积性的角度进行的。主要结果是我们得到了以下定理：``设f是定义在不动点附近的2n维解析辛映射。如果不动点具有共振q(0≤q≤n)，并且如果f其邻域内有n+q个函数独立的解析一阶积分，此时f通过解析辛变换变换为Birkhoff范式。 Birkhoff 范式可以表示为哈密顿量 H 的 time-1 映射，它没有共振项，并且 H 是 n-q 变量的函数。”这个结果已经在去年的研究中得到了解释，其中 f 表示为（对于时间 t），我们将其视为周期哈密顿量（周期为 1）的时间 1 映射，并进行了证明，将其简化为时间相关哈密顿量的伯克霍夫标准化问题。然而，这一次，我们发现了一种无需使用此类方法即可直接证明定理的简单方法，并且能够对标准形式有了清晰的了解。此外，我们表明，即使给定映射取决于参数并且固定点的共振程度随参数变化，上述结果仍然成立。这个结果可以正确地称为可积系统的刚性。我们还将这一结果应用于欧拉陀螺运动的分析，并表明可以在特殊周期运动（刚体的旋转）周围引入作用角变量（允许奇点）。上述结果被认为是推进超可积系统摄动问题研究的基础成果。

项目成果

Divergence and resummation in the normal form theeory of vector fields

矢量场范式理论中的发散与求和

• 发表时间: 2008
• 期刊: RIMS Kokyuroku Bessatsu 5
• 作者: 小賀坂康志;他;伊達悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;Hidekazu Ito;Hidekazu Ito;Masafumi Yoshino
• 通讯作者: Masafumi Yoshino

Birkhoff normal forms for superintegrable systems

超可积系统的伯克霍夫范式

• 发表时间: 2008
• 期刊: RIMS Kokyuroku Bessatsu B10
• 作者: 小賀坂康志;他;伊達悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;Hidekazu Ito;Hidekazu Ito
• 通讯作者: Hidekazu Ito

シンプレテクティック写像のバーコフ標準化と超可積分性

辛映射的伯克霍夫标准化和超可积性

• 发表时间: 2009
• 作者: 小賀坂康志;他;伊達悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;Hidekazu Ito;Hidekazu Ito;Masafumi Yoshino;伊藤秀一
• 通讯作者: 伊藤秀一

C^∞可積分かつC^ω可積分でないハミルトン系の存在とモノドロミー

C^∞ 可积但 C^ω 不可积的哈密顿系统的存在性和单调性

• 发表时间: 2007
• 作者: 小賀坂康志;他;伊達悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;伊達 悦朗;Hidekazu Ito;Hidekazu Ito;Masafumi Yoshino;伊藤秀一;矢ヶ崎 一幸;伊藤 秀一;吉野 正史
• 通讯作者: 吉野 正史

Birkhoff normalization and superintegrability of Hamiltonian systems

• DOI: 10.1017/s0143385708000965
• 发表时间: 2009-03
• 期刊: Ergodic Theory and Dynamical Systems
• 影响因子: 0.9
• 作者: Hidekazu Ito