大域幾何学にあらわれる可積分ハミルトン系の研究

全局几何中出现的可积哈密顿系统的研究

• 批准号: 04245203
• 负责人: 伊藤 秀一
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• 财政年份: 1992
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1992 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-04245203/
• 关键词: 可積分ハミルトン系; シンプレクティック幾何学; 標準形; 調和写像; 双曲型空間; ディリクレ境界値問題; 正則性定理

1.伊藤(研究代表者)は可積分系の特異点における標恋形の研究を可積分なシンプレクティック写像の不動点のまわりでの標準形について拡張し、特性乗数に関する付加条件のもとで、与えられた変換が自分自身の(不動点における)線形部分と可換になるようにシンプレクティック座標系をとれることを証明し、線形部分と可換という対称性」を持った標準形を得た。2.また伊藤は可積分系の持つ剛性とでもいうべき性質として、解析的な2次元シンプレクティック変換がMonotoneTwist条件を満たすとき、もし滑らかな第一積分を持つならば、実際には解析的な第一積分も存在しているのではないか?という正則性の問題を考察し、部分的回答として、滑らかな第一積分によって定義される不変トーラスのうち回転数が有理数およびディオファントス数の不変トーラスは実は解析的であり、その上で与えられた変換はそれぞれの回転数の回転に解析的に共役になることを証明した。3西川(研究分担者)は、非コンパクトなリーマン多様体間の調和写像の存在問題に関して、その典型的な場合として、双曲型空間内の非有界な凸領域間の調和写像の存在問題について研究し、とくにDirichlet境界値問題の解の存在を証明した。Ω_1⊂D^m,Ω_2⊂D^nをそれぞれm次元およびn次元双曲型空間D^m,D^n内の非有界な凸領域とする。このとき、Ω_1の境界∂Ω_1からΩ_2の境界∂Ω_2への区分的にC^1級な連続写像∫∈C^0(∂Ω_1,∂Ω_2)で適切な境界条件をみたすものは、Ω_1からΩ_2への調和写像u∈C^0(Ω_1,Ω_2)∩C^∞(Ω_1,Ω_2)に拡張できる。とくに、2次元(m=n=2)の場合には、非有界凸領域Ω_1⊂D^2,Ω_2⊂D^2間の区分的にC^1級な同相写像は、領域の内部へ調和微分同相写像として拡張できる、ことを証明した。

1. Ito（首席研究员）将可积系统奇点处辛形式的研究扩展到可积辛映射不动点周围的标准形式，并在关于特征乘子的附加条件下证明了我们可以取。一个辛坐标系，使得给定的变换与其自己的线性部分（在固定点）可交换，并且我们有一个标准形式，其辛坐标系与其自己的线性部分（在固定点）可交换。它。 2.伊藤还指出，可积系统有一个可以称为刚性的性质，当一个解析二维辛变换满足MonotoneTwist条件时，如果它有一个平滑的第一积分，那么它实际上是解析的不是吗也是一阶积分？考虑到这个问题，作为部分答案，在由平滑第一积分定义的不变环面中，旋转数为有理数和丢番图数的不变环面实际上是解析的，并且给定的变换被证明与旋转解析共轭各旋转速度。 3Nishikawa（共同研究员）研究非紧黎曼流形之间调和映射的存在性问题，作为典型案例，他特别研究了双曲空间中无界凸区域之间调和映射的存在性问题。证明了狄利克雷边值问题解的存在性。设 Ω_1⊂D^m 和 Ω_2⊂D^n 分别为 m 维和 n 维双曲空间 D^m 和 D^n 中的无界凸区域。此时，满足适当边界条件的从Ω_1的边界∂Ω_1到Ω_2的边界∂Ω_2的分段C^1类连续映射∫εC^0(∂Ω_1,∂Ω_2)可以推广为调和映射 u∈C^0(Ω_1,Ω_2)∩C^∞(Ω_1,Ω_2) 到 Ω_2。特别是，在二维情况下（m=n=2），无界凸区域 Ω_1⊂D^2, Ω_2⊂D^2 之间的分段 C^1 类同胚 我们证明它可以推广为调和微分同胚。

项目成果

Hidekazu Ito: "Integrability of Hamiltonian systems and Birkhoff normal forms in the simple resonance cases" Mathematische Annalen. 292. 411-444 (1992)

Hidekazu Ito：“简单共振情况下哈密顿系统和伯克霍夫范式的可积性”数学年鉴。

K.Akutagawa,S.Nishikawa,A.Tachikawa: "Harmonic maps of unbounded convex polygons in the hyperbolie plane" Geometry and its.Applications,Proceedings of the Workshop in honor of Morio Obata. (1993)

K.Akutakawa、S.Nishikawa、A.Tachikawa：“双曲平面中无界凸多边形的调和映射”几何及其应用。纪念 Morio Obata 的研讨会论文集。

Seike Nishikawa,Philippe Tondeur,Lieven Vanhecke: "Spectral Geometry for Riemannian Foliations" Annals of Global Analysis and Geometry. 10. 291-304 (1992)

Seike Nishikawa、Philippe Tondeur、Lieven Vanhecke：“黎曼叶的谱几何”全局分析和几何年鉴。