無限次元リー群およびリー代数に対する表現論の新たな展開

无限维李群和李代数表示论的新进展

• 批准号: 14654001
• 负责人: 山下 博
• 金额: $ 2.11万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-14654001/
• 关键词: 無限次元リー代数; 既約表現; ディラク作用素; 不変式論; ヤン・バクスター方程式; 微分作用素環; ヴェイユ表現; 不変微分作用素; 普遍包絡代数; ハリシュ-チャンドラ加群; ヴェイユ型表現; エルミート型; カペリ恒等式

本課題研究は,無限次元半単純リー代数(群)や量子群に対して,有限次元群の場合の既約許容表現,すなわちハリシュ-チャンドラ加群に相当する新しい表現の族を構成・分類するために,「代数的量子化」の理論が無限次元の場合にいかに展開できるか,その可能性を探ること主目標としている.今年度は,昨年度に行った試行的研究を推し進め,代数的ディラク作用素及びディラクコホモロジーを用いて,共役類の量子化と許容表現の構成を検討した.また,リー代数の作用に関する不変式論,トーリック多様体上の微分作用素環,量子群の研究を併せて行った.その研究経過と得られた知見について,以下に報告する.研究代表者山下は,A型のリー代数に対して,簡約あるいはべき零な部分リー代数から定まるディラク作用素の構成とコホモロジー空間の構造を検討した.その過程で,表現論国際会議(平成16年8月開催,於新疆大学)に参加し,有限次元の場合の専門家であるJing-Song Huang(香港科技大)およびPavle Pandzic(Zagreb大)と研究打合せを重点的に行った.無限次元リー代数に理論が拡張できる部分と障害となる部分が明らかになり,今後研究を発展させるために重要な手がかりが得られたと考えている.また,ディラク作用素と基盤研究(B)(課題番号14340001)で実施中の離散系列に対する等方表現との間の関係を調べた.研究分担者和地は,対称対に関する不変微分作用素を定める普遍包絡代数の元の研究を行い,デュアルペアと関わる明示的公式を得た.無限次元リー代数の表現の研究に資するため,研究分担者齋藤は,アフィン半群環上の微分作用素環やA-超幾何系において基本的な加群の圏Oを扱い,各々の圏Oにおいてヴァーマ的対象や単純対象と,それらの間の基本的な関手について考察した.研究分担者澁川は,力学的ヤン・バクスター方程式の集合論的解を構成した.

该研究项目为无限维半单李代数（群）和量子群构建并分类了与有限维群的不可约允许表示相对应的新表示族，即 Harish-Chandra 模。代数量化”具有无限维数。我们的主要目标是探索在我们考虑允许表达式的结构的情况下如何开发它的可能性。 .我们还对李代数作用的不变理论、环面簇上的微分算子代数和量子群进行了研究。下面报告研究进展和所得结果。首席研究员山下对A型李代数进行约化在此过程中，我参加了国际表示论会议（2004年8月，新疆大学），研究了由无幂偏李代数确定的狄拉克算子的构造和上同调空间的结构。案例专家景松。 Huang（香港科技大学）和 Pavle我们与Pandzic（萨格勒布大学）进行了一次重点研究会议，明确了该理论可以扩展到无限维李代数的领域以及存在障碍的领域，为未来的研究发展获得了重要线索。我们还研究了狄拉克算子和离散序列的各向同性表示之间的关系，该关系正在基础研究（B）（问题号 14340001 定义微分算子）中进行。为了对无限维李代数的表示研究做出贡献，共同研究员Saito研究了仿射半群代数上的泛包络代数元素，得到了与对偶对或有关的显式公式。超几何系统我们处理了模块的基本类别O，并且在每个类别O中，我们考虑了Vermic对象、简单对象以及它们之间的基本函子，构造了一个集合论解决方案。

项目成果

Akihito Wachi: "Capelli type identities on certain scalar generalized Verma modules II"J. Math. Soc. Japan. 55(印刷中). (2003)

Akihito Wachi：“某些标量广义 Verma 模 II 上的 Capelli 型恒等式”J. Soc. 55（出版中）。

Capelli type identities on certain scalar generalized Verma modules. II.

某些标量广义 Verma 模块上的 Capelli 类型恒等式。

• 发表时间: 2004
• 期刊: Journal of the Mathematical Society of Japan 56・2
• 作者: 山下 博;Mutsumi Saito;Youichi Shibukawa;Akihito Wachi
• 通讯作者: Akihito Wachi

Mutsumi Saito: "Logarithm-free A-hypergeometric series"Duke Mathematical Journal. 115・1. 53-73 (2002)

Mutsumi Saito：“无对数 A 超几何级数”杜克数学杂志 115・1（2002 年）。

Finite generation of rings of differential operators of semigroup algebras

半群代数微分算子环的有限生成

• 发表时间: 2004
• 期刊: Journal of Algebra 278・1
• 作者: 山下 博;Mutsumi Saito
• 通讯作者: Mutsumi Saito

Hiroshi Yamashita: "Isotropy representation and projection to the PRV-component"数理解析研究所講究録. 1294. 62-71 (2002)

Hiroshi Yamashita：“PRV 分量的各向同性表示和投影”数学科学研究所 Kokyuroku。1294. 62-71 (2002)。