二次元力学系のコンビナトリアルな研究

二维动力系统的组合研究

基本信息

批准号：
11740110
负责人：
石井豊
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

この一年間の主要な研究実績は、以下の三つに分類される。(1)実平面上の区分的線形写像の族であるskew-Lozi写像族に対して「繰り込み作用素」と呼ばれるパラメータ空間上の力学系を定義し、この族の位相的エントロピーの大域的単調性に関するある予想との関係を議論した。これはD.Sands氏(Universite de Paris-Sud,Orsay)との共同研究である。またこの手法をいわゆる区間演算法と組み合わせることによって、与えられたパラメータにおけるskew-Lozi写像のエントロピーの誤差評価付き計算アルゴリズムへと応用した。(2)高次元複素力学系の立場から複素Henon写像族の解析をJ.Smillie氏(Cornell University)とともに行った。特に、複素Henon写像が双曲的になるための位相的、あるいはチェック可能な十分条件を提示した。この定理の応用として、一次元の双曲的な二次多項式が複素Henon写像として摂動されたときに双曲性を保つ範囲を、パラメータに関する具体的な条件式として与え、更に双曲的ホースシューのパラメータ領域の新しいバウンドも求めた。論文は現在執筆中。(3)物理学者の首藤啓氏(東京都立大学)と池田研介氏(立命館大学)らとともに、一次元半古典系におけるトンネル効果とそれに対応した複素Henon写像の力学系との関係を研究した。一般に量子力学の複素半古典論において、ある粒子の遷移確率は複素二次元空間(すなわち相空間)内の経路積分としてあらわされ、その積分に寄与しているものの実平面に含まれない経路全体がトンネル効果を記述すると考えられている。今回の研究で、このような寄与経路の全体と、Hamilton方程式のPoincare断面として得られる複素Henon写像の前方Julia集合との対応関係を、数学的に一部正当化した。論文は現在準備中。

过去一年中的主要研究结果可以分为三类：（1）我们在参数空间中定义了一个动态系统，称为“重新归一化运算符”的偏度洛兹地图家族，这是一个真实平面上的分段线性映射家族，并讨论了有关该家族拓扑介质的全球单调性的某些预测的关系。这是一个与D. Sands（巴黎大学）的联合研究项目。通过将该技术与所谓的相互调节方法相结合，将其应用于计算算法，并在给定参数上对偏斜地图的熵进行错误评估。（2）我们与J. Smillie（康奈尔大学）的高维复杂力学系统的角度分析了复杂的亨逊地图家族。特别是，我们提出了足够的拓扑或可检查条件，以使复杂的亨逊映射具有双曲线。作为该定理的应用，当一维双曲二次多项式作为复杂的亨逊图作为参数的特定条件表达式时，我们给出了双曲线的范围，并在双重骨hoseosoe的参数域中找到了一个新结合。该论文目前正在写作。（3）与物理学家Hiroshi（Tokyo Metropolitan University）和Ikeda Kensuke（Ritsumeikan University）一起，我们研究了一维半经典系统中的隧道效应与复杂亨逊图的相应动力学系统之间的关系。通常，在量子力学的复杂半经典理论中，粒子的过渡概率表示为在复杂的二维空间（即，相位空间）中成分的路径积分，并且人们认为，整个路径促进整合，但不包括在实际平面中。在本研究中，我们在数学上部分证明了作为汉密尔顿方程的Poincare横截面获得的整个贡献路径与前向朱莉娅的朱莉娅集合之间的对应关系。该论文目前正在准备中。