二次元力学系のコンビナトリアルな研究

二维动力系统的组合研究

基本信息

批准号：
11740110
负责人：
石井豊
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

项目摘要

この一年間の主要な研究実績は、以下の三つに分類される。(1)実平面上の区分的線形写像の族であるskew-Lozi写像族に対して「繰り込み作用素」と呼ばれるパラメータ空間上の力学系を定義し、この族の位相的エントロピーの大域的単調性に関するある予想との関係を議論した。これはD.Sands氏(Universite de Paris-Sud,Orsay)との共同研究である。またこの手法をいわゆる区間演算法と組み合わせることによって、与えられたパラメータにおけるskew-Lozi写像のエントロピーの誤差評価付き計算アルゴリズムへと応用した。(2)高次元複素力学系の立場から複素Henon写像族の解析をJ.Smillie氏(Cornell University)とともに行った。特に、複素Henon写像が双曲的になるための位相的、あるいはチェック可能な十分条件を提示した。この定理の応用として、一次元の双曲的な二次多項式が複素Henon写像として摂動されたときに双曲性を保つ範囲を、パラメータに関する具体的な条件式として与え、更に双曲的ホースシューのパラメータ領域の新しいバウンドも求めた。論文は現在執筆中。(3)物理学者の首藤啓氏(東京都立大学)と池田研介氏(立命館大学)らとともに、一次元半古典系におけるトンネル効果とそれに対応した複素Henon写像の力学系との関係を研究した。一般に量子力学の複素半古典論において、ある粒子の遷移確率は複素二次元空間(すなわち相空間)内の経路積分としてあらわされ、その積分に寄与しているものの実平面に含まれない経路全体がトンネル効果を記述すると考えられている。今回の研究で、このような寄与経路の全体と、Hamilton方程式のPoincare断面として得られる複素Henon写像の前方Julia集合との対応関係を、数学的に一部正当化した。論文は現在準備中。

一年来的主要研究成果可分为以下三类。 (1) 在参数空间上为 skew-Lozi 映射族定义一个称为“重正化算子”的动力系统，该映射族是实平面上的分段线性映射族，并找到该族拓扑熵的全局单调性我们讨论了与某些猜想的关系。这是与 D. Sands 先生（巴黎南大学奥赛分校）的联合研究。此外，通过将该方法与所谓的区间算术方法相结合，我们将其应用于计算 skew-Lozi 图的熵的算法，并对给定参数进行误差评估。（2）与J. Smillie先生（康奈尔大学）一起从高维复杂动力系统的角度分析了复杂Henon图族。特别是，我们提出了复杂 Henon 映射是双曲的拓扑或可检查的充分条件。作为该定理的应用，我们给出了当一维双曲二次多项式被扰动为复 Henon 映射时保持双曲性的范围作为关于参数的特定条件表达式，并且进一步我们还发现了参数的新界限的域。该论文目前正在撰写中。（3）与物理学家Kei Shuto（东京都立大学）和Kensuke Ikeda（立命馆大学）一起，研究了一维半经典系统中的隧道效应与相应的复杂Henon映射动力系统之间的关系。一般来说，在量子力学的复杂半经典理论中，粒子的跃迁概率被表示为复杂二维空间（即相空间）中的路径积分，以及对积分有贡献但不贡献积分的整个路径。包含在真实平面中的被认为是描述隧道效应。在这项研究中，我们在数学上部分证明了所有这些贡献路径与作为汉密尔顿方程的庞加莱部分获得的复杂 Henon 映射的前向 Julia 集之间的对应关系。该论文目前正在准备中。