Construction of new phase-parameter space correspondence for complex dynamics in dimension two

二维复杂动力学新相参空间对应的构建

基本信息

批准号：
20H01809
负责人：
石井豊
金额：
$ 10.32万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究の目標は、複素 Henon 写像など複素2次元力学系の重要なクラスに対し、そのパラメータ空間を位相的・組み合わせ論的に記述することで、大域的な分岐現象や対応する Julia 集合の性質を理解する点にある。そのための手法として、力学系の相空間とパラメータ空間との間に今まで知られて来なかった新しい対応関係を構築することが鍵となる。昨年度は双曲的な複素へノン写像の例の構成について考察し、2次の複素へノン写像で、双曲的で、そのジュリア集合は連結であり、しかもいかなる1変数の拡大的多項式写像の射影極限とも位相共役にならない例の構成に成功した。この研究の続きとして今年度は、このジュリア集合の構成に基づいて、複素へノン写像族のパラメータ空間の解析を行った。具体的には、Bedford-Smillie, Dujardin らの定理に基づき、連結でないジュリア集合をもつ複素へノン写像を数値的に(しかも厳密に)判定するアルゴリズムの開発を行った。ちなみにこの結果は中部大学の荒井迅氏との共同研究であり、その証明には計算機による精度保証計算を本質的に用いる。一方で、九州大学の弘中祐希氏とは、ホースシュー領域近くの実へノン写像の研究を進めた。特に Arai-Ishii (2018) で構成された複素ボックスの族を用いることで、対応する実へノン写像の位相同値類がある記号力学系の特別な記号列の個数で特徴付けられることを証明した。これはそれまでの Bedford-Smillie の結果を全てのヤコビアンに対して拡張した結果になっている。

这项研究的目标是以拓扑和组合的方式描述复杂二维动力系统（例如复杂 Henon 映射）的参数空间，从而阐明全局分岔现象和相应的 Julia 集的性质。重点是要理解。其关键在于构建动力系统的相空间和参数空间之间的新对应关系，而这一对应关系迄今为止尚不为人所知。去年，我们考虑了双曲复数倍弦图的示例的构造，我们成功地构造了一个在任一投影极限下都不会成为相位共轭的示例。作为这项研究的延续，今年我们基于 Julia 集的结构分析了复 Henon 图族的参数空间。具体来说，基于 Bedford-Smillie、Dujardin 等人的定理，我们开发了一种算法，可以通过数值（严格）确定具有未连接的 Julia 集的复杂 Henon 映射。顺便说一句，这个结果是与中部大学荒井仁先生共同研究得出的，其证明本质上是使用计算机进行保证精度的计算。另一方面，我与九州大学的Yuki Hironaka一起研究马蹄地区附近的真实henon地图。特别是，通过使用 Arai-Ishii (2018) 构造的复盒子族，我们可以证明相应的实 Henon 图的拓扑等价类可以通过符号动力系统的特殊符号串的数量来表征。。这是将之前的 Bedford-Smillie 结果扩展到所有雅可比行列式的结果。