Construction of new phase-parameter space correspondence for complex dynamics in dimension two

二维复杂动力学新相参空间对应的构建

基本信息

批准号：
20H01809
负责人：
石井豊
金额：
$ 10.32万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究の目標は、複素 Henon 写像など複素2次元力学系の重要なクラスに対し、そのパラメータ空間を位相的・組み合わせ論的に記述することで、大域的な分岐現象や対応する Julia 集合の性質を理解する点にある。そのための手法として、力学系の相空間とパラメータ空間との間に今まで知られて来なかった新しい対応関係を構築することが鍵となる。昨年度は双曲的な複素へノン写像の例の構成について考察し、2次の複素へノン写像で、双曲的で、そのジュリア集合は連結であり、しかもいかなる1変数の拡大的多項式写像の射影極限とも位相共役にならない例の構成に成功した。この研究の続きとして今年度は、このジュリア集合の構成に基づいて、複素へノン写像族のパラメータ空間の解析を行った。具体的には、Bedford-Smillie, Dujardin らの定理に基づき、連結でないジュリア集合をもつ複素へノン写像を数値的に(しかも厳密に)判定するアルゴリズムの開発を行った。ちなみにこの結果は中部大学の荒井迅氏との共同研究であり、その証明には計算機による精度保証計算を本質的に用いる。一方で、九州大学の弘中祐希氏とは、ホースシュー領域近くの実へノン写像の研究を進めた。特に Arai-Ishii (2018) で構成された複素ボックスの族を用いることで、対応する実へノン写像の位相同値類がある記号力学系の特別な記号列の個数で特徴付けられることを証明した。これはそれまでの Bedford-Smillie の結果を全てのヤコビアンに対して拡張した結果になっている。

这项研究的目的是通过描述重要的复杂二维机械系统的重要类别的参数空间，例如复杂的亨诺映射，在拓扑和组合上描述重要类别的参数空间，以了解全球分支现象和相应的朱莉亚集的特性。作为此目的的一种方法，关键是建立一个新的对应关系，该关系直到现在在动态系统的相位空间和参数空间之间才知道。去年，我们考虑了非映射在双曲线复合物上的示例，并成功地构造了一个非映射的示例，将其构造到二阶复合物，双曲线上，其朱莉娅集合被串联，而不是相结合到任何一个可变量的放大多项式映射的投影限制。继续这项研究，今年我们根据该朱莉娅集合的结构分析了非映射家族的参数空间。具体而言，根据贝德福德 - 米利（Bedford-Smillie）的定理，杜贾丁（Dujardin）等人，我们开发了一种算法，该算法在数值（严格地）上确定了与非连接朱莉娅集合的复合物的非映射。顺便说一句，这个结果是与丘布大学的Arai Jin进行的联合研究项目，证明这实际上是基于计算机的准确性保证计算。同时，九州大学的Hironaka Yuki对马蹄铁区附近的水果进行了研究。特别是，使用由Arai-Ishii（2018）组成的复杂盒子家族，已证明它的特征是符号机械系统中具有非映射同源值的特殊符号序列的数量。这是所有雅各布人先前的贝德福德 - 米利赛结果的延伸。