二次元複素力学系のコンビナトリアルな研究

二维复杂动力系统的组合研究

基本信息

批准号：
14740120
负责人：
石井豊
金额：
$ 1.92万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度の研究の中心は、Henon写像を実力学系と複素力学系の両面から解析することにあった。まず第一に、複素力学系の手法を用いることにより、実Henon写像が双曲性を有するためのチェック可能な(或いは位相的な)十分条件を見い出した。それを用いて、3次のHenon写像f_<a,b>:(x,y)〓(-x^3+a-by,x)において(a,b)=(-1.35,0.2)とした写像は、一様双曲的でしかもいかなる拡大的な1次元多項式写像の小さな摂動とも共役にならないことが証明できた。このように本質的に2次元的な力学系をもつ双曲的Henon写像は今まで知られておらず、今回の結果で初めて構成された。この定理の証明には、2つの1変数多項式から非自明な2次元の力学系を構成するfusionという考え方を用い、また具体的なHenon写像が上述の判定条件を満たすことを碓認するために精度保証計算を用いた計算機支援証明を一部使っている。更に複素力学系を用いた手法の別の応用として、実Henon写像が最大エントロピーを持つための計算可能な判定条件を示した。その証明には、多重ポテンシャル理論におけるグリーン関数の比較のテクニックと、Bedford-Lyubich-Smillieの定理が用いられた。この結果により、Henon写像族のパラメータ空間における幾つかの部分的構造を解析することが可能になる。例えば、実Henon写像族のパラメータ空間における最大エントロピー集合やホースシュー集合を非常に精密に求めることが可能になった。

今年研究的重点是分析真实和复杂动力系统的 Henon 图。首先，我们利用复杂动力系统的方法，找到了实Henon图具有双曲性的可检验的（或拓扑的）充分条件。利用这个，我们在三阶 Henon 映射 f_<a,b>:(x,y)〓(-x^3+a-by,x) 中设置 (a,b)=(-1.35,0.2)证明了该映射是一致双曲的，并且不会与任何扩展的一维多项式映射的小扰动共轭。迄今为止，人们还不知道具有本质上二维动力系统的双曲Henon图，目前的结果是第一个构建它的结果。为了证明这个定理，我们使用了融合的思想，它从两个一变量多项式构造了一个非平凡的二维动力系统，并为了确认一个具体的 Henon 映射满足上述的一些标准。使用使用保证准确性的计算的计算机辅助证明。此外，作为该方法使用复杂动力系统的另一个应用，我们展示了真实 Henon 映射具有最大熵的可计算标准。证明使用了多重势理论中的格林函数比较技术和Bedford-Lyubich-Smillie 定理。这一结果使得分析Henon图族参数空间中的一些部分结构成为可能。例如，可以非常精确地获得实Henon映射族的参数空间中的最大熵集和马蹄形集。