トーリック多様体とカスプ特異点の研究

环面流形和尖点奇点的研究

• 批准号: 19K03393
• 负责人: 石田 正典
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03393/
• 关键词: 代数幾何学; トーリック多様体; カスプ特異点; コクセター群; 直角鏡映群; 凸多面体; 無限扇

本研究の主な対象であるトーリック型カスプ特異点つまり土橋カスプ特異点は，格子点の指定された実空間の開凸錐に離散線形群が格子点集合を保存するように作用していて，その開凸錐の分割で多面錐の集合である扇がいくつかの条件を満たす場合にトーリック多様体の理論を応用して構成される孤立特異点である．これは元々は複素解析的特異点であるが，研究代表者により任意の体上の完備局所環としても構成できることがわかっている．本研究ではカスプ特異点を中心に，様々なトーリック多様体の問題について考察している．研究代表者の石田はこれまでと同様に Vinberg の線形コクセター群の例を与える直角鏡映群について研究を継続している．3 次元で立方体のアフィンコクセター群と立方体の自己同型群の合成群の特殊な部分群の分類と整理を行い，さらに高次元化が可能か考察中である．また 3 つの元で生成されるコクセター群について，これまでと同様にコクセター群から構成される曲面に自由に作用する部分群を見つける計算機プログラムについても，今年度は新たに高性能のパソコンを購入して種々の計算を行っている．またこれを他の場合に適用出来るように改良を試みている．条件をつけていくつかの部分群について実際に計算を行っている．またヒルベルトモジュラーカスプ特異点のものと同様なゼータ関数が，トーリック型カスプ特異点についても開凸錐に含まれる格子点の作用に関する代表元と原点について特性関数のべき乗の和を取って定義される．この和を扇に含まれる多面錐に限った関数を部分ゼータ関数として考えることが出来る．この部分ゼータ関数とカスプ特異点のゼータ関数には容易に得られる関係式はあったが，ゼータ関数については成り立つ特殊値の有理性などはまだ得られていない．

这是本研究的主要主题的圆旋式型尖端奇异性或地球桥尖象奇异性是一种孤立的奇异性，是通过在离散线性群中运用旋转圆锥形的理论来构建的。尽管这最初是一个复杂的分析奇异性，但主要研究者发现它也可以作为任何人体上的完整局部环构建。这项研究的重点是尖峰奇异性，并讨论了各种复曲面的问题。与以前一样，研究人员Ishida继续对直角镜组进行研究，该镜子为Vinberg的线性Coxeter组提供了一个例子。我们已经在三个维度上分类了Cube仿射组组的特殊亚组和立方自动型组的合成组，并正在考虑是否可以进一步增加。此外，对于三个来源，与以前一样，像以前一样，我们已经购买了一台新的高性能计算机来执行今年的各种计算，该计算机程序找到了在Coxeter组组成的弯曲表面上自由作用的亚组。我们还试图改进它，以便将其应用于其他情况。实际上，我们对有条件的几个亚组进行计算。此外，通过获取开放式锥体中包含的网格点的代表性和起源的特征函数的总和来定义与希尔伯特模块化尖象相似的ZETA函数。该总和可以视为部分Zeta函数，该函数仅限于风扇中包含的多方面锥体。尽管这些部分Zeta函数与尖尖Zeta Zeta函数之间存在易于理解的关系，但是尚未获得Zeta函数的特殊值的合理性。