Structural stability problem of real algebraic maps and its application

实代数映射的结构稳定性问题及其应用

基本信息

批准号：
20K03611
负责人：
小池敏司
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Hyogo University of Teacher Education
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究における第一目標は、実代数的写像（ここでは、ナッシュ多様体間のナッシュ写像を意味する）に対する構造安定性問題を解決することにある。より具体的には、実代数的写像の構造安定性に対する結構次元（安定な写像全体の集合が写像空間内で閉かつ稠密になる多様体の次元の対）を決定することである。この研究においては、定義域のナッシュ多様体がコンパクトな場合に、実代数的写像の結構次元が実解析構造安定性の結構次元に一致することを示すことを問題にしている。この問題に関して、昨年度、実解析構造安定性の結構次元が実代数的構造安定性の結構次元になっていることを示していた。当該年度の研究成果は、その逆を示すことにより、それらの二つの結構次元が一致することを示したことである。従って、第一目標の問題を解決したことである。次数が制限された多項式関数全体に現れる位数型の個数が有限であることは、特異点論の分野においては、福田の有限性定理として広く知られている。この結果は関数の場合の位相構造安定性問題と深く関係している。福田の有限性定理に関連して、外国人研究協力者の L. Paunescu 氏との共同研究により、多項式関数族に対する種々の位相有限性定理や半代数的有限性定理、また、それらを一般化して、必ずしもコンパクトとは限らないナッシュ多様体上定義されたナッシュ関数族に対する半代数的有限性定理を示し、それらの結果を論文にまとめていた。当該年度に、その論文を欧州の雑誌より出版した。

这项研究的第一个目标是解决实代数映射（这里我们指的是纳什流形之间的纳什映射）的结构稳定性问题。更具体地说，目的是确定实代数映射的结构稳定性的足够维数（流形的维数对，使得所有稳定映射的集合在映射空间中是封闭且密集的）。本研究的问题是证明当域的纳什流形紧致时，实代数图的精细维数对应于实解析结构稳定性的精细维数。关于这个问题，去年我们证明实解析结构稳定性的可观维数已经成为实代数结构稳定性的可观维数。今年的研究结果是通过相反的方式来表明这两个维度的重合。这样，第一个目标的问题就解决了。整个有限次多项式函数中出现的阶类型数量是有限的这一事实在奇点理论领域被广泛称为福田有限定理。这一结果与函数情况下的相结构稳定性问题密切相关。结合福田的有限性定理，通过与国外研究合作者L. Paunescu先生的共同研究，我们发展了多项式函数族的各种拓扑有限性定理和半代数有限性定理，并将其推广到了半代数。纳什流形上定义的纳什函数族的有限定理（不一定是紧的），并在论文中总结了他的结果。该论文于当年发表在欧洲期刊上。