ケーラーリッチフローのある種の変形とその自己相似解

Köhler-Rich 流的某些变形及其自相似解

基本信息

批准号：
13J03077
负责人：
高橋良輔
金额：
$ 1.73万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2013
资助国家：
日本
起止时间：
2013-04-01 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は，Fano多様体X上のケーラー・リッチソリトン（KS）と呼ばれる標準計量に対して，2つの結果を挙げることができた．1つは，XがKSを許容すれば，量子化ソリトンの列を許容し，さらにこの列はKSに自己同型群の作用を除いて弱収束するというものである．XはFanoなので，反標準束-Kの十分大きな冪によって，Xを射影空間に埋め込むことができる．Tianは1990年の論文において，-K上の任意のHermite計量は，Bergman計量（すなわち，小平埋め込みによるFubini-Study計量の引き戻し）の-Kの冪を無限大に飛ばしたときの近似として表せることを証明した．この事実は，KSの存在問題が，``量子化ソリトンの存在問題''という有限次元の変分問題のある種の極限として解釈できることを示唆しており，今回の結果もそのような描像の1つである．もう1つは，Xの量子化ソリトンベクトル場は自明であるとしたとき，Xが量子化ソリトンを許容すれば漸近的に反標準的Chow安定であるというものである．これは東京大学数理科学研究科の斎藤俊輔氏との共同研究による．1つ目の結果で構成した量子化ソリトンは自己同型群の作用に対して不変である．このことから，量子化ソリトンが存在するためには，X上の正則ベクトル場全体の成すLie環上のある指標（量子化二木不変量）が消滅する必要があることが分かる．我々は，量子化二木不変量をテスト配位と呼ばれる，複素1次元パラメータをもつXの退化族に対して拡張することにより，複素構造を飛び越えて定義される障害に一般化することに成功した（反標準的Chow安定性の定式化）．ただし，現時点では中心ファイバーが対数端末特異点をもつFano代数多様体であるような，特別なテスト配位に対してしか障害が定式化されていないため，これを一般のテスト配位に対して拡張することが今後の課題となる．

今年，我们能够在 Fano 流形 X 上获得称为 Kähler-Rich 孤子 (KS) 的标准度量的两个结果。其一是，如果X允许KS，则它允许量子化孤子序列，而且，除了自同构群的作用之外，该序列弱收敛于KS。由于 X 是 Fano，我们可以通过足够大的反标准丛 -K 的幂将 X 嵌入射影空间。 Tian 在 1990 年的论文中指出，当 -K 的幂跳到无穷大时，-K 上的任何 Hermite 度量都可以表示为 Bergman 度量的近似值（即通过 Kodaira 嵌入拉回 Fubini-Study 度量）。证明了这一点。这一事实表明，KS 的存在问题可以解释为一种有限维变分问题的极限，称为“量子化孤子的存在问题”，并且我们的结果也支持这样的图景。另一个是，假设X的量化孤子矢量场是平凡的，如果X允许量化孤子，那么它是渐近反标准Chow稳定的。这是与东京大学研究生院数学科学研究生院的齐藤俊介的共同研究。第一个结果中构造的量化孤子对于自同构群的作用是不变的。由此可见，为了存在量化孤子，X上整个全纯向量场形成的李环上的某个索引（量化二树不变量）必须消失。通过将量化的二树不变量扩展到一个简并族（反标准 Chow 稳定性的公式）。然而，目前，该故障仅针对特殊的测试配置，例如中心纤维具有对数终端奇点的 Fano 代数簇，扩展将是未来的挑战。