幾何学的不変式論および確率論的手法を用いたケーラー・リッチソリトンの研究

利用几何不变理论和随机方法研究克勒富孤子

基本信息

批准号：
16J01211
负责人：
高橋良輔
金额：
$ 2.08万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は次の２つの結果を得ることができた：結果1：hyperkahler多様体内の平均曲率流の収束結果2：coupled Kahler-Einstein (cKE)計量の力学系による構成結果1について．Calabi-Yau多様体M内における正則曲線の数え上げ問題は，Gromov-Witten不変量と深く関係しており，また，物理学の超弦理論における重要な研究対象の1つでもある．とりわけ，「与えられたホモロジー類の中に，シンプレクティックイソトピー同値類がどのくらい含まれるか？」という問題が，1990年代後半にTian，Yauによって提唱されている．考察対象を4次元に制限すれば，その中のシンプレクティック極小曲面は正則曲線を与えることが知られているので，平均曲率流によるアプローチが有効である．私は，東北大AIMRの國川慶太氏との共同研究により，Mのhyperkahler構造（Mに付随するツイスター族）を用いて，M内の任意の向きづけられた部分閉曲面Lに対して，「ツイスターエネルギー」という新しいエネルギーを導入した．そして，このツイスターエネルギーが十分に小さい任意のLから出発する平均曲率流は，ある正則曲線に滑らかに収束することを示した．結果2について．cKE計量は，Kahler-Einstein計量の多体問題への一般化として，Hultgren-Witt Nystromによって2016年に導入された計量である．cKE計量は与えられたケーラー類の中で（もし存在すれば）一意的であることが知られているが，力学的安定性との関わりについてはよく分かっていなかった．そこで，私は，Ricci曲率作用素を含むKahler計量の空間上の新たな力学系「coupled Ricci iteration」を導入し，与えられた任意の初期値に対し，この力学系がcKE計量に滑らかに収束することを示した．

今年，我们获得了以下两个结果：结果1：超卡勒流形中平均曲率流的收敛结果2：关于使用动力系统的耦合卡勒-爱因斯坦（cKE）度量的合成结果1。 Calabi-Yau流形M中正则曲线的计数问题与Gromov-Witten不变量密切相关，也是物理学中弦论的重要研究课题之一。特别是“给定的同源类中包含多少个辛同位素等价类？”这一问题是由 Tian 和 Yau 在 20 世纪 90 年代末提出的。如果考虑的对象仅限于四个维度，则已知其中的辛极小曲面给出规则曲线，因此使用平均曲率流的方法是有效的。通过与东北大学 AIMR 的 Keita Kunikawa 的联合研究，我利用 M（附属于 M 的扭曲族）的超卡勒结构来解决 M 中任意方向的部分闭合曲面 L 的问题。一种名为“扭曲能量”的新能量被提出介绍了。然后我们证明，从任何具有足够小的扭转能量的 L 开始的平均曲率流平滑地收敛到某个规则曲线。关于结果2。 cKE 度量由 Hultgren-Witt Nystrom 于 2016 年引入，作为 Kahler-Einstein 度量对多体问题的推广。众所周知，cKE 指标在给定的 Kähler 类别（如果存在）中是唯一的，但其与机械稳定性的关系尚未得到很好的理解。因此，我在 Kahler 度量空间上引入了一个新的动力系统“耦合 Ricci 迭代”，其中包括 Ricci 曲率算子，并且我证明对于任何给定的初始值，该动力系统平滑地收敛到 cKE 度量。