新しい幾何学的フローを用いたK-安定でないFano多様体の研究

使用新几何流研究 K-不稳定 Fano 流形

基本信息

批准号：
20K14308
负责人：
高橋良輔
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

J-方程式はコンパクトKahler多様体上の標準計量の1つであり，DonaldsonとChenによって2000年代前半に導入された．この方程式はスカラー曲率一定Kahler計量の存在問題とも密接に関係しており，多くの専門家からの注目を集めている．スカラー曲率一定Kahler計量には勾配項を含む一般化としてCalabiのextremal Kahler計量があるが，この対応物をJ-方程式に対して考えようとしたときに，modified J-方程式が自然に思い付く．2016年にLi-Shiはmodified J-方程式に対してsubsolutionの概念を導入し，方程式の可解性はsubsolutionの存在と同値であることを示した．しかしながら，subsolutionの存在は依然として解析的な条件であり，実用的な判定法とは言い難い．そこで，今年度はtoric多様体の場合にmodified J-方程式の解が存在するための数値的な必要十分条件を，Nakai-Moishezon判定法を参考にしながら構成した．Nakai-Moishezon判定法はコホモロジー類のKahler性を判定する方法としてよく知られている．今回私が構成した判定法は勾配項の寄与を含み，そのベクトル場が生成する多様体上のtorus作用に付随した同変コホモロジー類と，各toric部分多様体との交叉数によって記述される．また，modified J-方程式のtwisted版に対してもsubsolutionの概念を導入し，方程式の可解性とsubsolutionの存在が同値であることを放物型のフローを用いて証明した．この結果は既に論文としてまとめ，arXivで公開中である．また，昨年度までの研究成果と合わせて既にいくつかのセミナーや研究集会で発表している．

J 方程是紧凑卡勒流形的标准度量之一，由 Donaldson 和 Chen 在 2000 年代初期提出。该方程与常标量曲率卡勒度量的存在问题密切相关，引起了许多专家的关注。卡拉比的极限卡勒度量是常标量曲率卡勒度量的推广，其中包括梯度项，但是当我们尝试考虑 J 方程的对应部分时，修改后的 J 方程自然而然地出现了。 2016年，李石为修正的J方程引入了子解的概念，并证明方程的可解性等价于子解的存在性。然而，子解的存在性仍然是一个分析条件，不能称为实用的测定方法。因此，今年我们参考Nakai-Moishezon检验方法，构造了环面流形情况下修正J方程解存在的数值充要条件。 Nakai-Moishezon 检验方法作为确定上同调类的 Kahler 性质的方法而广为人知。我这次构建的判断方法包括梯度项的贡献，并通过与矢量场和每个环面子流形生成的流形上的环面作用相关的等变上同调类的交集数来描述。我们还将子解的概念引入到修正J方程的扭曲版本中，并使用抛物线流证明了方程的可解性等价于子解的存在性。结果已被汇编成一篇论文，现已在 arXiv 上提供。此外，我们已经在多个研讨会和研究会议上展示了截至去年的研究成果。