ケーラー・リッチソリトンと端的ケーラー計量の複素解析幾何

科勒富孤子的复杂解析几何和简单科勒度量

基本信息

批准号：
15J06855
负责人：
斎藤俊輔
金额：
$ 1.22万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2017-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

1．昨年度に引き続き高橋良輔氏(東北大)と共同で反標準的balanced計量の存在問題について研究した。昨年度定義した反標準的Chow安定性は特殊なテスト配位に対してのみにしか定義できていなかったが、一般のテスト配位に拡張することができた。拡張された反標準的Chow安定性をF安定性に名称を改めた。F安定性に関して次のような成果を得た:(1)反標準的balanced計量が存在するならばF安定である;(2)漸近的Chow安定ならば漸近的F安定である;(3)一様K安定ならば漸近的F安定である;(4)漸近的F半安定ならばK半安定である. また(1)の証明の副産物としてCalabi型汎関数の下限をDonaldson-二木不変量を用いて下から評価する不等式を得た。これはDonaldsonによるCalabi汎関数の下限評価のFano多様体における類似である。2．満渕により導入された一般化されたKahler-Einstein計量の存在問題について研究を行った。YaoはトーリックFano多様体に対する相対Ding安定性を定義し、一般化されたKahler-Einstein計量の存在と相対Ding安定性が同値であることを示した。これに触発されて、私はトーリックFano多様体に対して相対Ding半安定性が相対K安定性を導くことを示した。これと計算機による計算からどの3次元トーリックFano多様体が相対Ding安定性であるかを決定し、この場合の存在問題を完全に解決した。一般のFano多様体に対して相対Ding安定性を定義し、一般化されたKahler-Einstein計量の存在が相対Ding半安定性を導くことを示した。証明には上で述べたCalabi型汎関数の下限評価を用いる。下限評価の更なる応用として、一般化されたKahler-Einstein計量がDing energyを最小化することもわかった。

1.继去年之后，我与Ryosuke Takahashi（东北大学）合作研究了反标准平衡指标的存在问题。去年定义的反标准 Chow 稳定性只能针对特殊的测试配置进行定义，但我们能够将其扩展到一般的测试配置。将扩展反标准 Chow 稳定性重命名为 F-稳定性。关于F稳定性，我们得到以下结果：（1）如果存在反标准平衡度量，则它是F稳定的；（2）如果它是渐近Chow稳定的，那么它是渐近F稳定的；若一致 K 稳定，则渐近 F 稳定； (4) 若渐近 F 半稳定，则 K 半稳定。此外，作为 (1) 证明的副产品，我们获得了一个不等式，该不等式使用 Donaldson-Futa 树不变量从下面评估 Calabi 型泛函的下界。这与唐纳森对 Fano 流形上 Calabi 泛函的下界评估类似。 2.我们研究了 Mitsubuchi 提出的广义 Kahler-Einstein 度量的存在性问题。 Yao 定义了 toric Fano 品种的相对 Ding 稳定性，并表明广义卡勒-爱因斯坦度量的存在等同于相对 Ding 稳定性。受此启发，我证明相对 Ding 半稳定性会导致环面 Fano 流形的相对 K 稳定性。由此和计算机计算，我们确定了哪种三维复曲面 Fano 流形具有相对 Ding 稳定性，彻底解决了本例中存在的问题。我们定义了一般 Fano 流形的相对 Ding 稳定性，并表明广义 Kahler-Einstein 度量的存在导致相对 Ding 半稳定性。该证明使用上述卡拉比型泛函的下界评估。作为下界评估的进一步应用，我们还发现广义卡勒-爱因斯坦度量最小化了 Ding 能量。