曲面結び目のリスト作成と仮想結び目の不変量の研究

创建表面结列表并研究虚拟结的不变量

基本信息

批准号：
22K03287
负责人：
佐藤進
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

仮想結び目および溶接結び目の概念は、３次元ユークリッド空間内の古典的結び目の拡張であり、平面上の実交点・仮想交点をもつ射影図で表される。また、仮想結び目は厚み月閉曲面内の結び目とみなすことができ、溶接結び目は４次元ユークリッド空間内のトーラスが作る曲面結び目とみなすことができる。古典的、仮想、溶接結び目の性質には類似点だけでなく大きな相違点もあることが知られている。それらの類似性、相違性を調べることは結び目理論において重要な課題である。前年度までの研究において、仮想結び目に対して、捩れ多項式や３種類の交差多項式とよばれる不変量を導入し、その性質の解明を行った。本年度はこれらの不変量を通して、仮想結び目と古典的結び目の相違性を明らかにした。具体的には、二つの仮想結び目の射影図に対して、それらの捩れ数が一致していても正則同値（ライデマイスター変形IIおよびIII）とは限らないことを示した。古典的結び目に対しては捩れ数の一致と正則同値が必要十分条件である、という事実はよく知られている。また、溶接結び目に対しては、古典的結び目と同じ振る舞いをすることも示すことができた。交差多項式は、閉曲面上の二つのサイクルの交差数を利用して定義される。このアイディアを拡張することにより、交差多項式を仮想絡み目に対しても定義し、その性質の一端を明らかにした。与えられた仮想絡み目に対し、その各成分の射影図を自由にとることはできない、という既知の結果の簡便な別照明を与えることもできた。仮想絡み目と関連して、仮想タングルについても、その不変量のひとつであるZ彩色に関連する研究を行った。古典的タングルのZ彩色においてその端点の色の交代和は０に等しいことが知られているが、本研究では仮想絡み目では一般に０とは限らないこと、また適当な仮想タングルの端点の色として実現するための必要十分条件を与えることができた。

虚拟结和焊接结的概念是经典结在三维欧几里德空间中的延伸，并通过平面上的真实和虚拟交点的投影图来表示。进一步地，虚拟结可以看作厚月闭合面中的结，焊接结可以看作四维欧氏空间中环面形成的弯曲结。众所周知，经典结、虚拟结和焊接结的性质不仅有相似之处，而且存在显着差异。检查它们的异同是纽结理论中的一个重要问题。在我们去年的研究中，我们向虚拟结引入了称为扭转多项式的不变量和三种类型的交多项式，并阐明了它们的性质。今年，我们通过这些不变量阐明了虚拟结和经典结之间的差异。具体来说，我们表明，即使两个虚拟结的扭转数相同，它们的投影图也不一定是全纯等价的（Reidemeister变形II和III）。众所周知，对于经典结来说，捻数的重合和正则等价是充要条件。我们还能够证明焊接结的行为方式与经典结相同。交集多项式是使用封闭曲面上两个循环的交集数来定义的。通过扩展这个想法，我们定义了虚拟链路的交集多项式并阐明了它们的一些属性。还可以提供已知结果的简单替代说明，即不可能自由地获取给定虚拟链路的每个组件的投影图。关于虚拟缠结，我们还进行了与Z着色相关的研究，这是虚拟缠结的不变量之一。众所周知，在经典缠结的 Z 着色中，端点颜色的交替和等于 0，但在本研究中，我们表明对于虚拟链接来说，一般情况下它不一定为 0，并且颜色适当的虚拟缠结的端点是我们能够为实现这一点提供必要和充分的条件。