楕円型方程式の初期値問題を例とした逆問題の数値的手法の見直し

以椭圆方程初值问题为例回顾反问题的数值方法

基本信息

批准号：
22K18674
负责人：
藤原宏志
金额：
$ 3.83万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-06-30 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本年度は，本研究の契機となった画像再構成問題に関連して，そこに現れる特異積分方程式のある離散化スキームの不安定性を調べた．その結果，多くの応用逆問題と同様に不安定ではあるものの，その不安定性が応用上一般的な規模の数値計算では深刻でないことを示した．具体的には，不安定性の指標のひとつとして知られる連立一次方程式の条件数が，分割数に対して高々線型オーダーでしか増大しないことを示した．楕円型方程式の初期値問題の典型例である Hadamard の反例では，解が一意に存在するが，誤差が指数的に増大するものである．これは応用分野でもよく知られており，楕円型初期値問題の困難さといわれる．今年度取り扱った問題は異なる定式化であり，研究申請の段階で，実測値をもちいた事例研究によってそのような指数的増大が生じないことは判明していたが，それがこの事例に特有のことなのか，どこまで一般的なのかが明らかではなかった．また従来からこの方程式が点スペクトルの「境界」に位置しており，一般的な関数解析の議論によってスペクトルに属する，すなわち解が一意でないか，もしくは不安定であるかのいずれかであることはわかっていた．申請者と海外の研究協力者によって自然な設定で解が一意であることが再検証され，「不安定」であることはわかったが，どの程度不安定なのかは明らかでなかった．そこで今年度，数値解析の視点から，不連続Galerkin法による離散化で得れる連立一次方程式の条件数が分割数の高々1次で増大することがわかった．これは，研究申請時に得ていた事例研究の結果が，ある程度一般的に成立することを示すものであると考えられる．

今年，结合引发这项研究的图像重建问题，我们研究了其中出现的奇异积分方程离散化格式的不稳定性。结果表明，尽管它像许多应用反问题一样不稳定，但在一般规模的应用数值计算中，不稳定并不严重。具体来说，我们表明，线性方程组的条件数（被称为不稳定指标之一）相对于除法数最多增加一个线性数量级。阿达玛反例是椭圆方程初值问题的典型例子，有唯一解，但误差呈指数增长。这在应用领域是众所周知的，据说是椭圆初值问题的难点。我们今年处理的问题有不同的表述，在研究应用阶段就很清楚，在使用实际测量值的案例研究中不会出现这种指数增长，但这是因为它是本案例所特有的。不清楚这是否是一个问题或者它有多普遍。此外，该方程传统上位于点谱的“边界”，并且根据一般泛函分析论证，已确定它属于谱，即解不是唯一的就是不稳定的。我就知道。申请人和海外研究合作者重新验证了该解决方案在自然环境中是唯一的，并发现它“不稳定”，但尚不清楚它不稳定到什么程度。因此，今年，我们从数值分析的角度发现，使用间断伽辽金法离散化得到的联立线性方程组的条件个数最多增加了除法数的一阶。这被认为表明在研究申请时获得的案例研究结果在某种程度上总体上是有效的。