多重散乱情報をもちいる次世代イメージング手法の数理解析

使用多重散射信息的下一代成像方法的数学分析

基本信息

批准号：
20H01821
负责人：
藤原宏志
金额：
$ 10.48万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

粒子線をもちいる断層イメージングに関して，2つの成果を得た．ひとつは，PETの数理モデルである輻射輸送方程式の非斉次項決定逆問題について，領域の境界の一部での観測から領域内部の粒子源を決定する手法の数値的性質について調べた．また，輻射輸送方程式の係数決定逆問題について，2次元において減衰係数の決定の定量的性質を調べた．前者は，例えば陽電子放出断層撮影の数理モデルであり，境界の一部でのみ観測データが得られる場合の再構成手法の数値的信頼性を考察した．数学解析的な再構成については前年度までに結果を得ていた．この解析的な手続きの途中でCauchy核をもつ特異積分方程式が現れる．本研究ではその数値的信頼性までをも含める包括的な研究であり，この特異積分方程式を複合中点則とGalerkin法もしくは選点法で離散化して得られる連立一次方程式の条件数が，Hilbertの不等式に関する結果を利用することで，分割数に関して高々線型でしか増大しないことを明らかにした．ある特別な条件下では，この成果は代表者・分担者・海外の研究協力者の共著により昨年度に論文を発表していたが，これについて本年度，2021年度日本計算数理工学会論文賞を授与された．後者は，例えばひかりトモグラフィの数理モデルである．分担者が明らかにしていた，境界値から誘導される解の不連続性をもちいた再構成手法について，代表者および海外の研究者とともに数値計算のフレームワークを提案した．また実際に数値実験をおこなったところ，定量的にも妥当な再構成結果を得るに至った．この結果に関連して，分担者が2022年度日本数学会応用数学研究奨励賞を授与された．

关于用颗粒梁进行断层成像的结果，获得了两个结果。首先，我们研究了该方法的数值特性，用于从区域边界的一部分的观测值确定区域内的粒子源，用于非对称项确定辐射传输方程的非对称项，这是PET的数学模型。此外，研究了在二维中测定阻尼系数的定量特性，以解决辐射传输方程的反系数测定问题。例如，前者是正电子发射断层扫描的数学模型，当只能在边界的一部分中获得观察数据时，我们检查了重建方法的数值可靠性。到上一年，获得了数学分析重建的结果。在此分析过程的中间，出现了带有cauchy核的奇异积分方程。这项研究是一项全面的研究，甚至包括数值可靠性，并揭示了通过使用复合中点规则和盖雷金方法或搭配方法离散该单数积分方程来获得的线性方程的状况数量，只能通过利用希尔伯特不平等的结果来线性地增加。在某些特殊条件下，该论文于去年发表，由代表，共享者和海外研究合作者合着，今年是2021年日本计算数学工程论文奖。后者是Hikari断层扫描的数学模型。代表和海外研究人员提出了用于数值计算的框架，该框架是由共享者揭示的重建技术的，该技术涉及从边界值得出的解决方案的不连续性。此外，当我们实际进行了数值实验时，我们能够获得定量合理的重建结果。关于这一结果，共享者获得了2022年日本数学学会的应用数学研究鼓励奖。