離散的勾配流を用いた発展方法式の解の構成と正則性の研究

离散梯度流演化法方程的构造及规律性研究

基本信息

批准号：
08740085
负责人：
長澤壯之
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

発展方程式を時間変数について差分化し、差分方程式を変分法によって解く。更に、差分幅を細かくしたときの極限で、元の発展方程式の解を構成する。この方法は、チェコのRektorysや、慶應義塾大の菊池などによって考案された。方程式が、放物型偏微分方程式のときは、対応する楕円型偏微分方法式に付随する汎関数の勾配流の離散化になっているため、「離散的勾配流」による方法と呼ばれている。この方法は、放物型偏微的方程式にのみ適用されるのではなく、さまざまな発展方程式(偏微分方程式に限らない)に有効で、イタリアのDe Giorgiはminimizing movementと呼んだ。邦訳すれば、「最小化運動」と呼ぶべきものである。ここでは、この方法を用いて、半線形双曲型偏微分方程式系やナヴィア・ストークス方程式について研究した。前者に対しては、摩擦項を持つ方程式系の弱解の時間大域的存在と、減衰を示した。また、非柱状領域における弱解の時間大域的存在を示すのに有効である事を明らかにした。このような問題に対しては、従来の方法では、多くの場合任意の時刻における領域が初期領域と微分同相である事を仮定するが、ここでは、領域が増大するという仮定の下で考察し、同相である必要はない。ナヴィア・ストークス方程式に対しては、多様体上の方程式の弱解の時間大域的存在と、分数冪時間微分に相当するものの評価を示し、エネルギー不等式の精密化を行った。エネルギー不等式の精密化は、この方法から得られる独自のもので、半線形双曲型偏微分方程式系についても同様な精密化が可能である。

将演化方程对时间变量进行微分，用变分法求解差分方程。此外，当差值宽度变得更细时，原始演化方程的解是在极限处构造的。该方法是由捷克共和国的 Rektorys 和庆应义塾大学的 Kikuchi 等人发明的。当方程是抛物型偏微分方程时，该方法被称为“离散梯度流”方法，因为它是伴随相应椭圆偏微分方程的函数的梯度流的离散化。这种方法不仅适用于抛物型偏微分方程，而且对于各种演化方程（不限于偏微分方程）也有效，意大利的德乔治（De Giorgi）将其称为最小化运动。翻译成日语，应该叫“最小化运动”。在这里，我们使用该方法来研究半线性双曲偏微分方程组和纳维-斯托克斯方程。对于前者，我们展示了带有摩擦项的方程组弱解的时间全局存在性和阻尼。此外，我们还表明，它可以有效地显示非柱状区域中弱解的时间全局存在性。对于此类问题，传统方法常常假设任意时刻的区域与初始区域是微分同胚的，但这里我们在区域增加的假设下考虑，不需要同相。对于纳维-斯托克斯方程，我们展示了流形上方程弱解的时间全局存在性，评估了分数幂时间导数的等价性，并改进了能量不等式。能量不等式的细化是该方法所独有的，并且对于半线性双曲偏微分方程组也可以进行类似的细化。