Analysis of variational problems in topological geometry using Sobolev manifolds

使用 Sobolev 流形分析拓扑几何中的变分问题

基本信息

批准号：
21K18583
负责人：
長澤壯之
金额：
$ 3.99万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-07-09 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

結び目のエネルギーの代表であるメビウス・エネルギーの諸性質を理解するために、結び目だけでなく絡み目のエネルギー全般を解析し、メビウス・エネルギーの特殊性を浮き挙がらせる方法を用いた。結び目に対するメビウス・エネルギーのメビウス不変分解が絡み目に対するメビウス・エネルギーについても成り立つ事が分かった。分解エネルギーについては、同一のものにかからわず、様々な表現が知られている。ここでは、ガウス写像を用いた表現を得た。絡み目の場合、ガウス写像の写像度が絡み数という位相不変量となる。このように位相を表現する量を用いて分解エネルギーが表現できたことは、位相を固定したときの変分問題に応用できるのではと考えられる。元々第一分解エネルギーは分数冪調和写像のエネルギーとの類似が指摘されていたが、第二分解エネルギーはガウス写像を用いる事で波動写像（調和写像の一種）と緊密に関連する事が明らかとなった。これは、当初は想定していなかった発見である。調和写像については従前より膨大な研究成果があり、結び目や絡み目のメビウス・エネルギーの新たな知見が得られることは期待できる。更に、メビウス・エネルギーのメビウス不変分解は、ユークリッド空間内の結び目や絡み目に対して成立するが、これはユークリッド空間で中線定理が成り立つことに由来することも明らかになった。これは、前ヒルベルト空間に値をもつ結び目や絡み目に対する場合でも類似の結果を生むことを示唆する。これも研究当初では想定しなかった発見である。

为了理解莫比乌斯能量的各种特性，这是结的代表，我们不仅分析了结，而且分析了纠缠的能量，并使用了一种突出莫比乌斯能量特殊性质的方法。已经发现，莫比乌斯为结的莫比乌斯能量的不变分解对于交织在一起的莫比乌斯能量也是如此。对于分解能量，无论相同，都知道各种表达式。在这里，获得了使用高斯映射的表达式。在纠缠的情况下，高斯地图的地图变成了一个相位不变的，称为“纠缠的数量”。人们认为，可以使用以这种方式表达的相位表达分解能的事实可以应用于固定相位时变异问题。最初指出的是，第一个分解能类似于分数幂和谐图的能量，但已经揭示了第二个分解能与使用高斯图与波浪图（一种和谐图）密切相关。这是最初目的的发现。关于和谐映射的研究结果有很多，预计将获得对莫比乌斯能量的新见解，并获得纠缠。此外，据透露，莫比乌斯能量的莫比乌斯不变分解可用于欧几里得空间中的结和纠缠，这是源自欧几里得空间中的中线定理的。这表明在希尔伯特空间中具有值的结和纠缠也产生了类似的结果。这是研究时没有预料到的另一个发现。

项目成果

期刊论文数量（0）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

The Mobius energy for knots as a limit of that for links

结的莫比乌斯能量作为连杆能量的限制

DOI：
发表时间：
2023
期刊：
影响因子：
0
作者：
Aya Ishizeki;Takeyuki Nagasawa;長澤壯之;T. Nagasawa;T. Nagasawa
通讯作者：
T. Nagasawa

結び目と絡み目Mobiusエネルギー: 分解定理、余弦公式とMobius不変性

结和缠结莫比乌斯能量：分解定理、余弦公式和莫比乌斯不变性

DOI：
发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
0
作者：
石関彩;長澤壯之
通讯作者：
長澤壯之

科研費による研究成果

科学研究补助金资助的研究成果

DOI：
发表时间：
期刊：
影响因子：
0
作者：
通讯作者：

埼玉大学研究者総覧　長澤壯之

埼玉大学研究人员名录：长泽俊之

DOI：
发表时间：
期刊：
影响因子：
0
作者：
通讯作者：

Upper and lower bounds and modulus of continuity of decomposed Mobius energies

分解莫比乌斯能量的上下界和连续模

DOI：
10.1007/s12220-020-00496-x
发表时间：
2021
期刊：
J. Geom. Anal.
影响因子：
0
作者：
Aya Ishizeki;Takeyuki Nagasawa
通讯作者：
Takeyuki Nagasawa

DOI：
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发表时间：
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通讯作者：
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通讯作者：
Shuhei HAYASHI

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Masaki Kazama;Seiro Omata;Takeyuki Nagasawa;Akira Kikuta;Karel Svadlenka;柘植直樹;長澤壯之;I. Kato and K. Tsugawa,;M. Markellos and H. Urakawa;柘植直樹;Tekeyuki Nagasawa;K. Tsugawa
通讯作者：
K. Tsugawa