過剰決定系楕円型方程式の解の存在と領域の対称性に関する研究

超定椭圆方程解的存在性及域对称性研究

基本信息

批准号：
10740080
负责人：
長澤壯之
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1998
资助国家：
日本
起止时间：
1998 至 1999
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-10740080/
关键词：
過剰決定系楕円型方程式レーリー予想対称性曲率

项目摘要

19世紀にレーリーは、ノイマン境界条件下でのラプラシアンの固有関数で境界値が一定なものを許容する有界な単連結平面領域は、円板に限るであろうと予測した。これは、後に、「レーリー予想」と呼ばれ、過剰決定系楕円型方程式の解の存在と領域の対称性の問題の出発点となった。しかし、レーリー予測は、未だ解決されていない。本研究では、レーリー予想を含む過剰決定系楕円型方程式の解の存在と領域の対称性の問題を、新しい方法で取り組んだ。すなわち、領域の境界を多様体と見なし、領域の対称性を、多様体の曲率の対称性の問題として考えた。昨年度は、解の高階の法線微分係数を曲線とその導関数を用いて表現する公式を導き出した。これには、領域の位相的条件(単連結性・可能性等)や幾何学的条件(凸性・星形性等)を一切必要としない。また、この公式と与えられた楕円型方程式の過剰決定性から、領域が対称性を持つ為の必要十分条件を見いだした。この結果は、日本数学会の1999年会において報告した。今年度は、昨年度中に得られた公式の証明を改良し、公式自体も見やすくした。その結果、領域の境界の平均曲率が定数になる為の必要十分条件を見出すことができた。また、解の法線微分係数がある程度の階数まで定数であれば、すべての階数の法線微分係数が定数になってしまうという、一種の飽和現象を発見した。何階までの法線微分係数が定数であれば飽和現象を起すかは、初めに与えられる過剰決定条件に依存する。これらの結果は、京都大学数理解析研究所における研究集会「変分問題とその周辺」で講演し、その内容は、同研究所の講究録で見る事ができる。詳細な証明を付けた論文は現在投稿中である。

19世纪，瑞利预测圆盘将是唯一有界、单连通的平面区域，在诺伊曼边界条件下允许拉普拉斯算子的本征函数具有恒定的边界值。这后来被称为“瑞利猜想”，并成为超定椭圆方程和域对称问题解存在性的起点。然而，瑞利预测仍然悬而未决。在这项研究中，我们使用一种新方法解决了超定椭圆方程（包括瑞利猜想）的解的存在性和域对称性问题。即我们将区域的边界视为流形，并将区域的对称性视为流形曲率的对称性问题。去年，我们推导出了一个公式，该公式使用曲线及其导数来表示解的高阶正态微分系数。这不需要该区域的任何拓扑条件（单一连通性、可能性等）或几何条件（凸性、星形等）。另外，从这个公式和给定椭圆方程的超定性，我们找到了该区域具有对称性的充要条件。这一结果在1999年的日本数学会会议上报告。今年，我们改进了去年获得的官方证明，并使公式本身更易于阅读。由此，我们找到了区域边界平均曲率恒定的充要条件。我们还发现了一种饱和现象，即如果解的法向微分系数在某一阶内保持恒定，则所有阶的法向微分系数都保持恒定。当正态微分系数为常数时，饱和现象发生的程度取决于开头给出的超定条件。这些成果在京都大学数学科学研究所的“变分问题及相关领域”研究会议上发表，内容可以在该研究所的讲义中找到。目前正在提交一份包含详细证明的论文。