p進表現とp進微分方程式の分岐理論

p-adic表示和p-adic微分方程的分岔理论

基本信息

批准号：
10J06817
负责人：
大久保俊
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至 2011
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J06817/
关键词：
p進表現 p進微分方程式分岐理論 p進Hodge理論 p進表現論

项目摘要

先年度に引き続き、本年度もp進表現論の高次元化へ向け、非完全な剰余体を持つ完備離散付値体のp進Hodge理論を研究した。先年度に証明をした、p進表現に対するp進モノドロミー定理の水平な類似を論文にまとめたところ、若干の修正をすると、剰余体が非完全な場合のp進モノドロミー定理を証明できることに気づいた。そこで本年度は、剰余体が非完全の場合のp進モノドロミー定理を証明し、論文"The p-adic monodromy theorem in the imperfect residue field case"にまとめて投稿した。以下で証明の手法を述べる。p進モノドロミー定理は剰余体が完全な場合には、p進微分方程式の理論を用いることで、L.Bergerにより証明された。その後、P.Colmezによりp進微分方程式を用いらない別証明が与えられた。今回の手法はこの証明の一般化である:ColmezのDieudonne-Manin分類定理を用いることで、ド・ラーム表現Vに対し、あるガロワ加群を構成し、この加群のガロワコホモロジーの計算に帰着した:先年度は、このガロワ加群の構成するためにはVが水平なド・ラーム表現であるという仮定が必要だと思っていたが、一般のド・ラーム表現の場合にも接続の作用を考えることで、構成が可能である。さらに、先年度の結果である水平な場合のp進モノドロミー定理は、p進モノドロミー定理から従うことが証明できた。またその他の応用として、水平なド・ラーム表現の特徴付け、兵頭治によるZp(n)(ただしnは整数)のガロワコホモロジーの計算の一般化を証明した。なお、剰余体のp基底が有限の場合のp進モノドロミー定理は、森田知真により証明されているが、上述の証明は森田の証明で用いられたAndreatta-Brinonの理論を必要としない、本質的に異なるものである。さらに、上記の応用はこれまでに知られていないものである。

继去年之后，今年我们也研究了具有不完全余数场的完全离散价域的p-adic Hodge理论，旨在增加p-adic表示理论的维度。当我在论文中总结 p-adic 表示的 p-adic 单向定理的水平类比时，我去年已经证明了这一点，我意识到，通过一些修改，当余数域为不完整。因此，今年，我证明了留数域不完备情况下的p-进单向定理，并以题为《不完善留数域情况下的p-进单向定理》的论文提交。下面介绍证明方法。 L. Berger利用余数域完备时的p-进微分方程理论证明了p-进单性定理。后来，P. Colmez给出了另一个不使用p进微分方程的证明。本方法是该证明的推广：利用Colmez的Dieudonne-Manin分类定理，我们为de Rahm表示V构造了一定的Galois模块，并计算了该模块的Galois上同调。结论：去年，我认为为了构建这个伽罗瓦模块，有必要假设V是水平德拉姆表示，但在一般德拉姆表示的情况下，也有一个连接是可能的。通过考虑效果。此外，我们还能够证明去年的结果，水平情况下的 p 进单向定理是从 p 进单向定理推导出来的。至于其他应用，我们演示了水平 de Rahm 表示的表征以及 Osamu Hyodo 计算 Zp(n)（其中 n 是整数）的伽罗瓦上同调的推广。注意，余数域的 p 基有限时的 p 进一元定理已经被 Tomomasa Morita 证明了，但上述证明并不需要 Morita 证明中使用的 Andreatta-Brinon 理论；它们是完全不同的。此外，上述应用迄今仍是未知的。