幾何学的不変式論および確率論的手法を用いたケーラー・リッチソリトンの研究

利用几何不变理论和随机方法研究克勒富孤子

• 批准号: 16J01211
• 负责人: 高橋 良輔
• 金额: $ 2.08万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-22 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J01211/
• 关键词: hyperkahler多様体; 平均曲率流; coupled Kahler-Einstein; Ricci iteration; ケーラー・アインシュタイン計量; 放物型偏微分方程式; 幾何学的不変式論; Kahler-Einstein metric; Kahler-Ricci soliton; balanced metric

今年度は次の２つの結果を得ることができた：結果1：hyperkahler多様体内の平均曲率流の収束結果2：coupled Kahler-Einstein (cKE)計量の力学系による構成結果1について．Calabi-Yau多様体M内における正則曲線の数え上げ問題は，Gromov-Witten不変量と深く関係しており，また，物理学の超弦理論における重要な研究対象の1つでもある．とりわけ，「与えられたホモロジー類の中に，シンプレクティックイソトピー同値類がどのくらい含まれるか？」という問題が，1990年代後半にTian，Yauによって提唱されている．考察対象を4次元に制限すれば，その中のシンプレクティック極小曲面は正則曲線を与えることが知られているので，平均曲率流によるアプローチが有効である．私は，東北大AIMRの國川慶太氏との共同研究により，Mのhyperkahler構造（Mに付随するツイスター族）を用いて，M内の任意の向きづけられた部分閉曲面Lに対して，「ツイスターエネルギー」という新しいエネルギーを導入した．そして，このツイスターエネルギーが十分に小さい任意のLから出発する平均曲率流は，ある正則曲線に滑らかに収束することを示した．結果2について．cKE計量は，Kahler-Einstein計量の多体問題への一般化として，Hultgren-Witt Nystromによって2016年に導入された計量である．cKE計量は与えられたケーラー類の中で（もし存在すれば）一意的であることが知られているが，力学的安定性との関わりについてはよく分かっていなかった．そこで，私は，Ricci曲率作用素を含むKahler計量の空間上の新たな力学系「coupled Ricci iteration」を導入し，与えられた任意の初期値に対し，この力学系がcKE計量に滑らかに収束することを示した．

今年，我们能够获得两个结果：结果1：Hyperkahler歧管2：构造结果1中平均曲率流的收敛性，使用耦合的Kahler-Einstein（CKE）计量的机械系统。计数卡拉比（Calabi-Yau）歧管中规则曲线的问题与格罗莫夫（Gromov）的不变性物质密切相关，并且也是物理学超弦理论中重要的研究主题之一。特别是“给定同源性中包含了多少个符号同位素等效性？”是由天和Yau在1990年代后期提出的。众所周知，如果考虑主题仅限于四个维度，则其中的符号最小表面会提供规则的曲线，因此使用平均曲率流的方法有效。与Tohoku University Aimr的Kunikawa Keita合作，我使用Hyperkahler结构（与M相关的Twister家族）在M中引入了一种称为“ Twister Energy”的新能量。然后，我们证明了从任何L开始的平均曲率电流，在任何L中，该旋风能量足够小，可以顺利收敛到一定的常规曲线。关于结果2。CKE计量是Hultgren-Witt Nystrom在2016年推出的计量，作为Kahler-Instein Metering对多体问题的概括。尽管已知CKE指标在给定的Kohler类中是唯一的（如果有），但它们与机械稳定性的关联并不众所周知。因此，我在Kahler Metering的空间中引入了一个称为“耦合Ricci迭代”的新机械系统，该系统包含RICCI曲率运算符，并表明该机械系统在任何给定的初始值中平稳地收敛到CKE Metering。

项目成果

The inverse Monge-Ampere flow and applications to Kahler-Einstein metrics

逆蒙日-安培流及其在卡勒-爱因斯坦度量中的应用

• DOI: 10.4310/jdg/1641413788
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Differential Geometry
• 影响因子: 2.5
• 作者: Tristan C. Collins;Tomoyuki Hisamoto and Ryosuke Takahashi
• 通讯作者: Tomoyuki Hisamoto and Ryosuke Takahashi

Geometric quantization of Kahler-Ricci solitons

卡勒-里奇孤子的几何量子化

• 发表时间: 2017
• 作者: 斎藤俊輔;高橋良輔;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;高橋良輔;高橋良輔;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔
• 通讯作者: 高橋良輔

Asymptotic stability for Kahler-Ricci soliton

Kahler-Ricci 孤子的渐近稳定性

• 发表时间: 2016
• 作者: 斎藤俊輔;高橋良輔;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;高橋良輔;高橋良輔;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;高橋良輔;高橋良輔;高橋良輔;高橋良輔;Ryosuke Takahashi
• 通讯作者: Ryosuke Takahashi

Short lecture ``Extremal metrics and geometric flows''

简短讲座“极值度量和几何流”

• 发表时间: 2018
• 作者: 斎藤俊輔;高橋良輔;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;高橋良輔;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi
• 通讯作者: Ryosuke Takahashi

The Hessian of quantized Ding functionals and its asymptotic behavior

量化丁泛函的Hessian矩阵及其渐近行为

• 发表时间: 2018
• 期刊: Kodai Mathematical Journal
• 影响因子: 0.6
• 作者: Tristan C. Collins;Tomoyuki Hisamoto and Ryosuke Takahashi;Ryosuke Takahashi
• 通讯作者: Ryosuke Takahashi