Asymptotic analysis on PDEs appearing in mean field games, crystal growth and anomalous diffusion

平均场博弈、晶体生长和反常扩散中偏微分方程的渐近分析

基本信息

批准号：
22K03382
负责人：
三竹大寿
金额：
$ 2.75万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

令和４年度は，(テーマ１) カプトー型時間分数冪拡散方程式の弱解の同値性，（テーマ２）ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解の長時間挙動，（テーマ３）外力付等高面平均曲率流方程式のコーシー・ノイマン問題のリプシッツ評価について，幾つかの結果を得ることができた．テーマ１では，時間微分としてカプトー型時間分数冪微分を考えた拡散方程式について考察した．この方程式は，例えば土壌中の汚染物質の拡散など，不均質な媒体での拡散現象を記述する方程式として理論と応用の双方から注目を集めている．本研究では特に弱解の同値性について結果を得ることができた．微分できない解に対しては，超関数に基づく弱解の概念と，最大値原理に基づく粘性解の概念が標準的であるが，その同値性を証明することは簡単な方程式でも自明ではない．ここでは，レゾルベント型近似を用いて２つの同値性について示すことに成功した．テーマ２では，ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解の長時間挙動について，長時間後の極限関数がどのように初期値に依存するかについて解明した．これらの解析では，偏微分方程式における粘性解理論が基本的な役割を果たしているが，従来の同理論に比べより一層，力学系理論との関連に注目してきた．具体的には，同方程式の背景にあるハミルトン系，又は確率ハミルトン系の関係を深めようとする弱Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）理論，またその一般化について，その発展させることで成功した．テーマ３では，同問題の解の時間大域的リプシッツ評価について，Bernsteinの方法から自然に現れる強圧性に相当する仮定を外力に加えて得ることに成功した．さらに，この仮定を外した場合には，時間大域的リプシッツ評価が得られないという例を構成して，仮定の最適性について示した．

在2022年，我们能够获得（主题1）Captau型时间段的功率扩散方程的弱解决方案的等效性，（主题2）对Hamilton-Jacobi-Bermann方程的解决方案的长期行为，以及（主题3）LIPSCHITZ culucie-Neumann culteper culteprane cultimant the Equarne flook cul-nopplace of the Equim-nopplace的高度问题。在主题1中，我们讨论了扩散方程，该方程式将锁定型时间分数分化视为时间导数。该方程式吸引了理论和应用的关注，作为描述异质介质扩散现象的方程，例如污染物在土壤中的扩散。这项研究能够获得较弱的解决方案的等效性的结果。对于无法区分的解决方案，基于高功能的弱解决方案的概念和基于最大值原理的粘性解决方案的概念是标准的，但是即使是简单的方程式也不明显以证明其等效性。在这里，我们成功地使用了解决近似值证明了两个等价。在主题2中，我们研究了长期后的极限功能如何取决于汉密尔顿 - 雅各布 - 贝尔曼方程解决方案的长时间的初始值。在这些分析中，部分微分方程中的粘性解决方案理论起着基本作用，但是我们比以前的理论更关注与机械系统理论的关系。具体而言，我们成功地开发了弱的Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）理论，该理论试图加深哈密顿族人或随机的哈密顿制度之间的关系及其概括。在主题3中，我们通过将外部力应用于对解决方案的全局LIPSCHITZ评估中，成功地获得了与该问题的自然疾病特性相对应的假设。此外，当省略此假设时，构建了一个时间全球Lipschitz评估的示例，并提供了假设的最佳性。