新しい幾何学的フローを用いたK-安定でないFano多様体の研究

使用新几何流研究 K-不稳定 Fano 流形

• 批准号: 20K14308
• 负责人: 高橋 良輔
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K14308/
• 关键词: J-方程式; dHYM方程式; ケーラー・アインシュタイン計量; 幾何学的フロー; GIT安定性; Fano多様体; Kahler-Einstein計量; 放物型PDE; 幾何学的不変式論

J-方程式はコンパクトKahler多様体上の標準計量の1つであり，DonaldsonとChenによって2000年代前半に導入された．この方程式はスカラー曲率一定Kahler計量の存在問題とも密接に関係しており，多くの専門家からの注目を集めている．スカラー曲率一定Kahler計量には勾配項を含む一般化としてCalabiのextremal Kahler計量があるが，この対応物をJ-方程式に対して考えようとしたときに，modified J-方程式が自然に思い付く．2016年にLi-Shiはmodified J-方程式に対してsubsolutionの概念を導入し，方程式の可解性はsubsolutionの存在と同値であることを示した．しかしながら，subsolutionの存在は依然として解析的な条件であり，実用的な判定法とは言い難い．そこで，今年度はtoric多様体の場合にmodified J-方程式の解が存在するための数値的な必要十分条件を，Nakai-Moishezon判定法を参考にしながら構成した．Nakai-Moishezon判定法はコホモロジー類のKahler性を判定する方法としてよく知られている．今回私が構成した判定法は勾配項の寄与を含み，そのベクトル場が生成する多様体上のtorus作用に付随した同変コホモロジー類と，各toric部分多様体との交叉数によって記述される．また，modified J-方程式のtwisted版に対してもsubsolutionの概念を導入し，方程式の可解性とsubsolutionの存在が同値であることを放物型のフローを用いて証明した．この結果は既に論文としてまとめ，arXivで公開中である．また，昨年度までの研究成果と合わせて既にいくつかのセミナーや研究集会で発表している．

J-方程是2000年代初由Donaldson和Chen引入的紧凑型卡勒歧管的标准指标之一。该方程与具有恒定标态曲率的Kahler指标的存在密切相关，并引起了许多专家的关注。 Kahler计量恒定标态曲率是Calabi的极端Kahler计量，作为一个概括，包括梯度术语，当我们尝试考虑J-Eqequation的此对应物时，修改后的J-方程式自然就会想到。在2016年，Li-Shi引入了修改后的J-方程的订阅概念，表明方程的溶解度等于订阅的存在。但是，订阅的存在仍然是一种分析条件，它不能称为确定它的实际方法。因此，今年，我们使用Nakai-Moishezon判断方法作为参考，构建了数值和足够的条件，以实现修改后的J-方程的解决方案。 Nakai-Moishezon判断方法众所周知，是确定共同学的Kahlerness的一种方法。我这次构建的方法包括梯度项的贡献，并由每个感谢您的submanifold的交叉数来描述，具有与圆环效应对矢量场产生的流形相关的相同变异的共同体。我们还介绍了修改后的J-方程式的扭曲版本的订阅概念，并使用抛物线流量证明了方程式的溶解度和订阅的存在是等效的。结果已经作为论文编译，现在可以在Arxiv上找到。此外，除了去年的研究结果外，它们已经在几次研讨会和研究会议上介绍。

项目成果

A Nakai-Moishezon type criterion for supercritical deformed Hermitian-Yang-Mills equation

超临界变形Hermitian-Yang-Mills方程的Nakai-Moishezon型准则

• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Differential Geometry
• 影响因子: 2.5
• 作者: Jianchun Chu;Man-Chun Lee and Ryosuke Takahashi
• 通讯作者: Man-Chun Lee and Ryosuke Takahashi

Peking University/Chinese University of Hong Kong(中国)

北京大学/香港中文大学（中国）

The inverse Monge-Ampere flow and applications to Kahler-Einstein metrics

逆蒙日-安培流及其在卡勒-爱因斯坦度量中的应用

• DOI: 10.4310/jdg/1641413788
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Differential Geometry
• 影响因子: 2.5
• 作者: Tristan C. Collins;Tomoyuki Hisamoto and Ryosuke Takahashi
• 通讯作者: Tomoyuki Hisamoto and Ryosuke Takahashi

変形ヤン・ミルズ方程式の幾何学的解析

修正Yang-Mills方程的几何分析

• 发表时间: 2023
• 作者: Kabata Yutaro;Saji Kentaro;杉山真吾;高橋良輔
• 通讯作者: 高橋良輔

deformed Hermitian Yang-Mills計量の存在問題に対する幾何学的フローによるアプローチ

变形 Hermitian Yang-Mills 度量存在问题的几何流方法

• 发表时间: 2020
• 作者: Teruaki Kitano;Yuta Nozaki;高橋良輔
• 通讯作者: 高橋良輔