結晶成長形と偏微分方程式の漸近解析

晶体生长形式和偏微分方程的渐近分析

基本信息

批准号：
20654017
负责人：
儀我美一
金额：
$ 2.05万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

結晶成長現象を記述する方程式で最も簡単なものは、結晶成長の法速度Vが結晶方位(法ベクトル)nにのみよる関数M(n)>0に比例する場合である。M(n)が定数の場合はいわゆるホイヘンスの原理で結晶が成長する。一方、結晶成長形にはしばしばファセットと呼ばれる平らな面が現れる。これはMがnによるような異方性を持つ場合、V=M(n)c(c>0定数)に直線部分(平面部分)を持つ自己相似解を持つ場合である。結晶成長学では、cが定数ではなくても、それが定数に近ければファセット面は維持されると考えられているが、数学の枠組みではファセットが崩れず成長するためには、明らかにcは空間方向について定数である必要がある。本年度は、このファセット形式のメカニズムを説明する可能性のある数学解析の理論を2種類確立した。一つはファセットを非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の解の漸近形のうち、等速で動く部分と理解する方式である。この枠組では曲率の効果を無視している。これについては非強圧的ハミルトン・ヤコビ方程式の高次元での時間無限大での挙動を記述する数学理論を構築することに成功した。粘性解理論の新たな発展に寄与した。もう一つは特異な曲率流方程式によるとらえ方である。こちらは問題の定式化自体がなかなか難しいが、粘性解の理論および自由境界価問題の手法を拡張することにより、いくつかの具体的なファセット分裂を起こす解を構成することに成功した。また、比較原理が十分一般的な設定で成立することも示した。

描述晶体生长现象的最简单方程是晶体生长的法向速度V与仅取决于晶体取向（法向矢量）n的函数M(n)>0成正比的情况。当M(n)为常数时，晶体根据所谓的惠更斯原理生长。另一方面，称为刻面的平坦表面通常以晶体生长的形式出现。这是当M由于n而具有各向异性时的情况，或者当V=M(n)c（c>0常数）具有具有直线部分（平面部分）的自相似解时的情况。在晶体生长科学中，认为即使c不是常数，如果它接近常数，则刻面表面将保持不变，但在数学框架中，为了使刻面生长而不塌陷，它需要显然，c 必须在空间方向上必须恒定。今年，我们建立了两种数学分析理论，可以解释这种分面格式的机制。一种是将面理解为以恒定速度移动的非强制哈密尔顿-雅可比方程解的渐近形式的一部分。该框架忽略了曲率的影响。关于这一点，我们成功构建了一个数学理论，描述了非强制哈密尔顿-雅可比方程在高维无限时间内的行为。他对粘性溶液理论的新发展做出了贡献。另一种方法是使用独特的曲率流方程来理解它。这个问题本身的表述是相当困难的，但是通过扩展粘性解理论和自由边界价问题的方法，我们成功地构造了导致几个特定面分裂的解。我们还表明，比较原理在足够一般的设置中也适用。