Nonlinear Partial Differential Equations on Metric Spaces

度量空间上的非线性偏微分方程

基本信息

批准号：
22K03396
负责人：
柳青
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

一般の測度距離空間において，非有界で不連続な非斉次項を持つアイコナール方程式について研究した．ユークリッド空間上の不連続なハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解理論に関しては，多くの先行研究があるが，方程式の有界性が仮定される場合がほとんどであった．本研究では，非斉次項が変数によって無限大への発散を許す場合に着目し，一般の距離空間において方程式の解の概念及びそれに基づいたディリクレ境界値問題のモンジュ解の一意存在性理論を確立した．我々の手法の鍵は，空間内の曲線に沿った線積分を用いて，非斉次項を組み込んだ新たな距離を構築することである．この新たな距離に取り替えることにより，方程式を標準的なアイコナール方程式に変換することが可能となった．このように得られた解の連続性は一般には期待できないが，空間及び非斉次項の正則性に関する仮定の下で，解のヘルダー連続性を示せた．これらの研究結果をまとめた論文は現在投稿準備中である．関連の課題として，距離空間におけるハミルトン・ヤコビ方程式と微分ゲームの関連性も明らかにした．空間内の曲線を制御として加えることにより，ユークリッド空間で広く知られるゲーム理論的解釈を一般の距離空間まで拡張することに成功した．この成果に関する論文は，国際ジャーナルMinimax Theory Appl.に掲載された．アイコナール方程式は，無限大ラプラシアンの固有値問題に関する研究にも応用がある．私たちはモンジュ解の概念を取り入れ，一般の距離空間における無限大ラプラシアンの主固有値と固有関数の存在を証明し，既存の研究結果を一般化した．この結果をまとめた論文は，国際誌Adv. Nonlinear Stud.に掲載された．

我们研究了一般测度度量空间中具有无界、不连续和非齐次项的映函方程。之前有很多关于欧几里得空间中不连续 Hamilton-Jacobi 方程粘度解理论的研究，但大多数情况下都假设方程有界。在本研究中，我们关注非齐次项根据变量允许发散至无穷大的情况，并在此基础上建立了一般度量空间中方程解的概念以及狄利克雷边值问题蒙日解的唯一存在理论。概念。我们方法的关键是使用沿空间曲线的线积分来构造包含非齐次项的新距离。通过替换这个新的距离，现在可以将方程转换为标准的程函方程。尽管一般情况下不能期望以这种方式获得的解的连续性，但我们能够在空间正则性和非齐次项的假设下显示解的霍尔德连续性。目前正在准备提交一份总结这些研究结果的论文。作为相关问题，我们还阐明了Hamilton-Jacobi方程与度量空间中微分博弈之间的关系。通过在空间中添加曲线作为控制，我们成功地将欧几里得空间的广为人知的博弈论解释扩展到一般度量空间。有关这一结果的论文发表在国际期刊Minimax Theory Appl上。程函方程在无穷拉普拉斯特征值问题的研究中也有应用。我们采用蒙日解的概念，证明了广义度量空间中无限拉普拉斯算子的主特征值和特征函数的存在性，并推广了现有的研究成果。总结这些结果的论文发表在国际期刊《Adv》上。