材料科学に現れる表面・界面支配モデルの数学解析

材料科学中出现的表面/界面控制模型的数学分析

基本信息

批准号：
15J05166
负责人：
三浦達哉
金额：
$ 1.79万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

平成29年度における主な研究結果は次のものである。(1) 弾性曲線の境界値問題：ピアノ線など弾性棒の形状を求めるための変分モデルは非常に古典的であり、Euler の 1744 年研究を皮切りに分野の垣根を越えて研究されている。しかしながらその理論的理解は未だに不明瞭な部分が多く、例えば与えられた境界条件（端点の状態）から解の一意性や形状を求める結果は、閉曲線など簡単な場合を除いてほとんど知られていない。本研究では Euler と全く同一の問題に取り組み、新しい成果を得た。特に、端点の位置を離していく特異極限におけるエネルギー最小解の詳しい解析に成功した。主結果として、この極限における解の端点付近の漸近形状をリスケール収束の意味で求めた。この収束は昨年度の時点では C^1 級の意味で求まっていたが、これを C^∞ 級収束にまで向上させた。この進展は非常に重要であり、実際この結果を用いることで、ある境界条件の範囲におけるエネルギー最小解の一意性を示すことにも成功した。(2) 弾性曲線の自由境界問題：また上記の特異極限の理論を推し進め、弾性曲線の自由境界問題においても成果を得た。この問題は初年度から一貫して取り組んでいる問題であり、物理的には一次元波状基板に付着する弾性膜の変分モデルに相当する。本年度は初年度にも考察した曲げ弾性を小さくする特異極限を再考察し、より進んだ成果を得た。具体的には、まず初年度でグラフ曲線の場合にのみ得られていたガンマ収束の結果を一般の周期曲線の場合にまで拡張した。またこのガンマ収束から導かれるエネルギーの漸近展開を元に、ガンマ収束の一般論よりも更に進んだ解析を行い、エネルギー最小解の列に関してより強い収束を得ることにも成功した。系として、基板が滑らかかつ曲げ弾性が十分小さければ、エネルギー最小解は基板と同程度には平らであることを示した。

2017财年的主要研究成果如下。 (1)弹性曲线的边值问题：确定钢琴丝等弹性杆形状的变分模型非常经典，从1744年欧拉的研究开始就得到了跨学科的研究。然而，理论理解的许多方面仍然不清楚；例如，除了闭合曲线等简单情况外，从给定边界条件（端点状态）确定解的唯一性和形状的结果在很大程度上是未知的。在这项研究中，我们解决了与欧拉完全相同的问题并获得了新的结果。特别是，我们成功地详细分析了端点位置分开的奇异极限下的能量最小解。作为主要结果，我们在重新缩放收敛的意义上获得了该极限中解的端点附近的渐近形状。截至去年，这种收敛是在 C^1 类意义上发现的，但这已改进为 C^∞ 类收敛。这个进展非常重要，通过利用这个结果，我们成功地证明了最小能量解在一定边界条件范围内的唯一性。 (2)弹性曲线自由边界问题：我们还对上述奇异极限理论进行了改进，得到了弹性曲线自由边界问题的结果。这个问题是我们从第一年起就一直在研究的问题，物理上对应于附着在一维波浪基底上的弹性薄膜的变分模型。今年，我们重新考虑了第一年考虑的降低弯曲弹性的奇异极限，并获得了更先进的结果。具体来说，我们首先将仅针对第一年图曲线获得的伽玛收敛结果扩展到一般周期曲线的情况。此外，基于这种伽玛收敛所推导的能量渐近展开，我们进行了比伽玛收敛一般理论更先进的分析，并成功地获得了最小能量解序列更强的收敛性。作为一个系统，我们表明，如果基底光滑且弯曲弹性足够小，则能量最小解与基底一样平坦。

项目成果

期刊论文数量（0）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

A characterization of cut locus for C^1 hypersurfaces

C^1 超曲面切割轨迹的表征

DOI：
发表时间：
2017
期刊：
Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA
影响因子：
0
作者：
Ryo Mizuuchi;Norikazu Ichihashi;Tetsuya Yomo;矢野絢子;Tatsuya Miura;Tatsuya Miura
通讯作者：
Tatsuya Miura

Overhanging of membranes and filaments adhering to periodic graph substrates

粘附在周期性图形基底上的膜和细丝的悬垂

DOI：
10.1016/j.physd.2017.06.002
发表时间：
2017
期刊：
Physica D: Nonlinear Phenomena
影响因子：
0
作者：
Ryo Mizuuchi;Norikazu Ichihashi;Tetsuya Yomo;矢野絢子;Tatsuya Miura
通讯作者：
Tatsuya Miura

An Example of a Mean-Convex Mean Curvature Flow Developing Infinitely Many Singular Epochs

发展无限多个奇异历元的均值-凸平均曲率流的示例

DOI：
10.1007/s12220-015-9659-6
发表时间：
2016
期刊：
The Journal of Geometric Analysis
影响因子：
0
作者：
Ryo Mizuuchi;Norikazu Ichihashi;Tetsuya Yomo;矢野絢子;Tatsuya Miura;Tatsuya Miura;T. Miura;T. Miura
通讯作者：
T. Miura

On elastic curves adhering to substrates

关于粘附在基材上的弹性曲线

DOI：
发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
0
作者：
三浦達哉;三浦達哉;Tatsuya Miura
通讯作者：
Tatsuya Miura

Elastic curves and phase transitions

弹性曲线和相变

DOI：
10.1007/s00208-019-01821-8
发表时间：
2019
期刊：
Mathematische Annalen
影响因子：
1.4
作者：
Natsumi KAWASHIMA;Tomoya KITAZAKI;Hiroyuki NOMURA;Akira NISHIYAMA;Kenji WADA;and Ichiro ISHIMARU;Miura Tatsuya
通讯作者：
Miura Tatsuya