Study of properties of solutions to geometric higher order variational problems

几何高阶变分问题解的性质研究

基本信息

批准号：
20K14341
负责人：
三浦達哉
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

１．吉澤研介氏との共同による平面 p-elastica の研究を継続して行った。昨年度の段階で平面 p-elastica (p>1) の臨界点のレベルにおける完全な分類が得られていた。本年度はその研究を境界値問題に応用し、pinned boundary condition の下で臨界点およびエネルギー最小解の完全な分類を行った。またその帰結として、p-曲げエネルギーに対する Li-Yau 型不等式や p-弾性ネットワーク問題の最小解の存在定理を得た。更に続く研究において、平面曲線の曲率に依存する非常に一般的なクラスの変分問題に対し、エネルギー最小解や極小解（安定解）が満たすある種の最適な必要条件を得た。この理論は特に p-elastica に直接応用可能であり、特に重要な帰結として一般の closed p-elastica および非退化な pinned p-elastica の二つの場合において、臨界点の安定性の完全な分類を行った。２．剱持智哉氏との共同研究により、弾性流と呼ばれる四階放物型幾何学流に対して、初期時刻において上半平面に含まれているがしばらく経つと下半平面に含まれるような「移行解」の存在を考察した。二階放物型の典型例である曲線短縮流には最大値原理があるため、そのような解は現れない。本研究では、開曲線に対する長さ保存弾性流に対し、移行解が存在することを初めて証明した。また数値解析により、より広い枠組みで多くの移行解が存在し得ることを発見した。３．田中實氏との共同研究により、一般の Finsler 多様体の一般の閉部分集合からの距離関数の特異点集合が、DC (delta-convex) 超曲面の可算和と余次元２以上の除外集合の和集合で表示できることを示した。これは通常の Euclid 空間においても新しい結果であり、また DC 正則性は最適である。

1。我们继续与吉泽kensuke合作进行对飞机p-弹性的研究。去年获得了平面p-弹性的临界点（p> 1）的完整分类。今年，该研究应用于边界价值问题，并在固定边界条件下对关键点和能量最小解决方案的完整分类。后果是获得了P弯曲能的LI-YAU类型不等式以及对P弹性网络问题的最小解决方案的存在定理。在进一步的研究中，对于依赖于平面曲线曲率的非常常见的变异问题，能量最小和最小溶液（稳定溶液）的一种最佳要求。该理论尤其适用于p-弹性，在两种非常重要的情况下，我们对两种情况下关键点的稳定性进行了完整的分类：一般封闭的p-弹性e和非脱位固定的p-弹性。 2。与Tomoya tsurugi合作，我们检查了在初始时间包含在上半平面中的“过渡溶液”的存在，但在一段时间后，对于四层抛物线的抛物线几何流量称为弹性流。由于曲线缩短流（两阶抛物线类型的典型示例）具有最大值原理，因此没有出现这样的解决方案。这项研究首次证明，对于开放曲线的长度保守弹性流有过渡解决方案。数值分析还发现，在更广泛的框架内可能存在许多过渡解决方案。 3。与田中Minoru合作，我们表明，从一般鳍式歧管的一般闭合子集的奇异性函数集可以显示为可计数的DC（Delta-Convex）Hypersurfaces的可计数和两个或更多的多次尺寸的排除集合。即使在正常的欧几里克空间中，这也是一个新的结果，并且DC规律性是最佳的。