Development of Theory of Integrable Systems Describing Geometric Shapes

描述几何形状的可积系统理论的发展

• 批准号: 21K03329
• 负责人: 梶原 健司
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03329/
• 关键词: 可積分系; クライン幾何; 離散正則関数; 弾性曲線; 対数型美的曲線; 離散微分幾何; 離散正則函数

弾性曲線,対数型美的曲線による曲線の最適近似理論に取り組み，3Dスキャナで取り込まれた3次元点群データを平面に射影し，スムージング後に等間隔の平面点群データ(平面離散曲線)に変換し，得られた等辺離散曲線を可積分離散弾性曲線や対数型美的曲線でパラメトリックに近似する理論を構築し，実装した.これらの成果は工業意匠設計におけるリバースエンジニアリングに重要である.相似幾何における空間曲線がゲージ変換によりユークリッド幾何の曲率一定曲線に対応すること，その可積分変形がmKdV階層とその線形問題との結合系で記述されることを示し，さらに，その線形問題はmKdV階層の対称性に付随する線形化方程式に他ならないこと示した．より一般に，曲線の変形方程式は枠の変形方程式の線形化方程式と見なせるという驚くべき事実が判明し，昨年度示した枠の積分可能性は，この対称性から従うことを示した．さらに，空間曲線の可積分変形が作る曲線族が張る曲面を考察し，「美的曲面」として，2次曲面やその変形が得られることを示した．また，ユークリッド幾何における平面(離散)曲線と捩率一定の空間(離散)曲線に対する連続・離散等周変形に対する明示公式から，特に離散閉曲線で平行移動，剛体回転がない特別の場合に制約することで，カライドサイクルと呼ばれる1自由度でエネルギーを消費せずに動く閉リンク機構の楕円テータ関数による明示公式を構成した．さらに，Michelleトラスと呼ばれる，建築学においてある種の力学的合理性を持つ古典的なトラス構造の中で，格子が離散複素正則函数としての可積分指数函数で，辺材のなす離散曲線が離散対数型美的曲線であるような，力学的合理性，可積分性，美的性を兼ね備えた構造物を構築した．

我们正在研究利用弹性曲线和对数美学曲线的曲线最优逼近理论，将3D扫描仪捕获的3D点云数据投影到平面上，平滑后转换为等距平面点群数据（平面离散曲线） ，我们构建并实现了一种理论，该理论用可积离散弹性曲线和对数美学曲线对所获得的等边离散曲线进行参数逼近。这对于设计设计中的逆向工程具有重要意义。相似几何中的空间曲线通过规范变换对应于欧氏几何中的常曲率曲线，其可积变形由mKdV层次及其线性问题的耦合系统来描述。表明线性问题只不过是附加到 mKdV 层次结构对称性的线性化方程。更一般地说，我们发现了一个令人惊讶的事实，即曲线变形方程可以被视为框架变形方程的线性化方程，并且我们证明了去年展示的框架的可积性是从这种对称性得出的。此外，我们考虑了由空间曲线的可积变换创建的一系列曲线所跨越的曲面，并表明二次曲面及其变换可以作为“美学曲面”获得。此外，根据欧几里得几何中平面（离散）曲线和常扭距空间（离散）曲线的连续和离散等周变形的显式公式，可以约束无平移或刚体的离散闭合曲线的特殊情况我们使用椭圆 theta 函数构建了一个闭连杆机构的显式公式，该机构在一个自由度上移动而不消耗能量，称为 kallide 循环。此外，在建筑学上具有一定力学合理性的经典桁架结构中，称为米歇尔桁架，其格子是可积指数函数作为离散复正则函数，边材形成的离散曲线是离散的。它结合了机械理性、可积性和美学，例如对数美学曲线。

项目成果

可積分系による形状生成:弾性曲線・対数型美的曲線から「美的曲面」へ

使用可积系统生成形状：从弹性曲线和对数美学曲线到“美学表面”

• 发表时间: 2022
• 作者: Shigetomi Shota;Kajiwara Kenji;Kenji Kajiwara;軸丸芳揮，梶原健司，Wolfgang K. Schief;軸丸芳揮，林和希，早川健太郎，横須賀洋平，梶原健司;Kenji Kajiwara;可積分幾何に基づく Michell トラス型構造と離散対数型美的曲線;梶原健司
• 通讯作者: 梶原健司

Explicit formulas of isoperimetric deformations of smooth and discrete elasticae

光滑和离散弹性体等周变形的显式公式

• 发表时间: 2021
• 作者: 重富尚太;鍛冶静雄;梶原健司;朴炯基;Shota Shigetomi and Kenji Kajiwara
• 通讯作者: Shota Shigetomi and Kenji Kajiwara

Generation of Aesthetic Curves and Surfaces by Integrable Geometry

通过可积几何生成美观的曲线和曲面

• 发表时间: 2023
• 作者: Shigetomi Shota;Kajiwara Kenji;Kenji Kajiwara
• 通讯作者: Kenji Kajiwara

可積分幾何に基づくトラス構造の生成と力学的特性について

基于可积几何的桁架结构生成及力学性能研究

• 发表时间: 2023
• 作者: Shigetomi Shota;Kajiwara Kenji;Kenji Kajiwara;軸丸芳揮，梶原健司，Wolfgang K. Schief;軸丸芳揮，林和希，早川健太郎，横須賀洋平，梶原健司
• 通讯作者: 軸丸芳揮，林和希，早川健太郎，横須賀洋平，梶原健司

Reconstruction of Log-aesthetic curve parameters

Log-审美曲线参数重建

• 发表时间: 2021
• 作者: 軸丸芳揮;梶原 健司;Schief Wolfgang;Sebastian Elias Graiff Zurita;Sebastian Elias Graiff Zurita
• 通讯作者: Sebastian Elias Graiff Zurita