Development of Theory of Integrable Systems Describing Geometric Shapes

描述几何形状的可积系统理论的发展

• 批准号: 21K03329
• 负责人: 梶原 健司
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03329/
• 关键词: 可積分系; クライン幾何; 離散正則関数; 弾性曲線; 対数型美的曲線; 離散微分幾何; 離散正則函数

弾性曲線,対数型美的曲線による曲線の最適近似理論に取り組み，3Dスキャナで取り込まれた3次元点群データを平面に射影し，スムージング後に等間隔の平面点群データ(平面離散曲線)に変換し，得られた等辺離散曲線を可積分離散弾性曲線や対数型美的曲線でパラメトリックに近似する理論を構築し，実装した.これらの成果は工業意匠設計におけるリバースエンジニアリングに重要である.相似幾何における空間曲線がゲージ変換によりユークリッド幾何の曲率一定曲線に対応すること，その可積分変形がmKdV階層とその線形問題との結合系で記述されることを示し，さらに，その線形問題はmKdV階層の対称性に付随する線形化方程式に他ならないこと示した．より一般に，曲線の変形方程式は枠の変形方程式の線形化方程式と見なせるという驚くべき事実が判明し，昨年度示した枠の積分可能性は，この対称性から従うことを示した．さらに，空間曲線の可積分変形が作る曲線族が張る曲面を考察し，「美的曲面」として，2次曲面やその変形が得られることを示した．また，ユークリッド幾何における平面(離散)曲線と捩率一定の空間(離散)曲線に対する連続・離散等周変形に対する明示公式から，特に離散閉曲線で平行移動，剛体回転がない特別の場合に制約することで，カライドサイクルと呼ばれる1自由度でエネルギーを消費せずに動く閉リンク機構の楕円テータ関数による明示公式を構成した．さらに，Michelleトラスと呼ばれる，建築学においてある種の力学的合理性を持つ古典的なトラス構造の中で，格子が離散複素正則函数としての可積分指数函数で，辺材のなす離散曲線が離散対数型美的曲線であるような，力学的合理性，可積分性，美的性を兼ね備えた構造物を構築した．

We worked on the optimal approximation theory of curves using elastic and logarithmic aesthetic curves, and projected the 3D point cloud data captured by a 3D scanner onto a plane, converted it into equally spaced planar point cloud data (planar discrete curves) after smoothing, and constructed and implemented the theory that the obtained equissible discrete curve approximates parametrically using the cohesively separated scattering curves and logarithmic美学曲线。这些结果对于工业设计设计中的逆向工程很重要。我们表明，类似几何形状中的空间曲线对应于通过量规变换的欧几里得几何形状的恒定曲率曲线，并且在耦合MKDV层次结构及其线性问题的系统中描述了可集成的变形，并且线性问题与MKDV hierarky的对称性相关。更一般而言，事实证明，弯曲的变形方程可以视为框架变形方程的线性化方程，这是一个令人惊讶的事实，表明去年显示的框架的集成性来自该对称性。此外，我们检查了由空间曲线的可整合变形形成的表面，并表明二次表面及其变形可以作为“美学表面”获得。此外，从平面（离散）曲线和空间（离散）曲线的连续和离散的相等外围变形的明确公式中，在欧几里得几何形状中具有持续扭转的持续扭转，我们已经使用一个封闭的链接机制构建了一个明确的公式，该公式无需将椭圆形的链接机制带入一个无用的能量，即一个callide neferne neferne neferne nefery a calceclide actccalide a calide a calide a calide a calide calide a calccalide a calceclide a calceclide calte a calide calidide calteclide a callide a callide。 Furthermore, in a classic truss structure called the Michelle truss, which has a certain kind of mechanical rationality in architecture, we have constructed a structure that combines mechanical rationality, integrability, and aesthetic properties, such as a lattice being an integrable exponential function as a discrete complex regular function, and a discrete curve created by the sapwood being a discrete log aesthetic curve.

项目成果

可積分系による形状生成:弾性曲線・対数型美的曲線から「美的曲面」へ

使用可积系统生成形状：从弹性曲线和对数美学曲线到“美学表面”

• 发表时间: 2022
• 作者: Shigetomi Shota;Kajiwara Kenji;Kenji Kajiwara;軸丸芳揮，梶原健司，Wolfgang K. Schief;軸丸芳揮，林和希，早川健太郎，横須賀洋平，梶原健司;Kenji Kajiwara;可積分幾何に基づく Michell トラス型構造と離散対数型美的曲線;梶原健司
• 通讯作者: 梶原健司

Explicit formulas of isoperimetric deformations of smooth and discrete elasticae

光滑和离散弹性体等周变形的显式公式

• 发表时间: 2021
• 作者: 重富尚太;鍛冶静雄;梶原健司;朴炯基;Shota Shigetomi and Kenji Kajiwara
• 通讯作者: Shota Shigetomi and Kenji Kajiwara

Generation of Aesthetic Curves and Surfaces by Integrable Geometry

通过可积几何生成美观的曲线和曲面

• 发表时间: 2023
• 作者: Shigetomi Shota;Kajiwara Kenji;Kenji Kajiwara
• 通讯作者: Kenji Kajiwara

可積分幾何に基づくトラス構造の生成と力学的特性について

基于可积几何的桁架结构生成及力学性能研究

• 发表时间: 2023
• 作者: Shigetomi Shota;Kajiwara Kenji;Kenji Kajiwara;軸丸芳揮，梶原健司，Wolfgang K. Schief;軸丸芳揮，林和希，早川健太郎，横須賀洋平，梶原健司
• 通讯作者: 軸丸芳揮，林和希，早川健太郎，横須賀洋平，梶原健司

Reconstruction of Log-aesthetic curve parameters

Log-审美曲线参数重建

• 发表时间: 2021
• 作者: 軸丸芳揮;梶原 健司;Schief Wolfgang;Sebastian Elias Graiff Zurita;Sebastian Elias Graiff Zurita
• 通讯作者: Sebastian Elias Graiff Zurita