波動方程式の様々な局所平滑化評価式の拡張と統合に関する研究

波动方程多种局部平滑评价公式的推广与积分研究

基本信息

批准号：
18740069
负责人：
肥田野久二男
金额：
$ 0.77万
依托单位：
Mie University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2006
资助国家：
日本
起止时间：
2006 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

平成19年度も前年度に続いて波動方程式のStrichartz型評価式やMorawetz型評価式の拡張の研究を行なった.特に,前年度までに得られていた自由解に対する評価式からChrist-Kiselevの補題を経由して非斉次波動方程式に対する評価式も得られることに着眼して研究を行なった.そして以下のような成果をあげた.1.局所エネルギーの可積分性評価式とエネルギー保存則から従う重みつきの時間局所的時空L^2評価式と,前年度に得ていた重みつきの時空L^q評価式を,前述の補題を援用して融合し,非斉次波動方程式に対する重みつきの時間局所的評価式を得た.この評価式の応用として,べき乗型非線型項をもつ半線型波動方程式の初期値問題を考察した.球対称な初期値と初期速度をそれぞれL^2と{\dot H}^{-1}の空間からとるとき,時間局所解の一意存在に関して最良の結果が得られた.2.前年度までに得られていた球対称解に対する時間局所的Strichartz型評価式と,D.FangとC.Wangにより得られていた球対称解に対する時間大域的Strichartz型評価式をChrist-Kiselevの補題を用いて融合すると,非斉次波動方程式の解に対する時間局所的Strichartz型評価式が得られる.C.D.Soggeが空間3次元の場合で示していた評価式が,空間2次元の場合にはこの方針から従うことが分かった.この評価式の応用として,べき乗型非線型項をもつ半線型波動方程式の初期値問題を考察した.空間次元を2とし,球対称な初期値と初期速度をそれぞれ{\dot H}^{1/2-1/p}と{\dot H}^{-1/2-1/p}の空間からとるとき,時間局所解の一意存在に関して最良の結果が得られた.これはちょうどSoggeが空間次元3の場合に得ていた結果の空間2次元版に相当する.

2007年，继上一年的基础上，我们对波动方程的Strichartz型评价公式和Morawetz型评价公式进行了扩展研究。特别是，我们应用了由上式得到的自由解评价公式中的Christ-Kiselev引理。我们的研究重点是非齐次波动方程的评估公式也可以通过利用上述引理将根据能量守恒定律的加权时局时空L^2评估公式与上一年得到的加权时空L^q评估公式结合起来，对于非齐次波动方程我们得到了加权时间局部评估公式，作为该评估公式的应用，我们考虑了具有幂律非线性项的半线性波动方程的初值问题，设球对称初值和初速度为L^，分别为 2 和 {\dot关于时间局部解的唯一存在性，当从 H}^{-1}.2 的空间中获取时，如果我们结合 D 获得的球对称解的时间全局 Strichartz 型评估公式，可以获得最佳结果。 .Fang和C.Wang利用Christ-Kiselev引理，我们可以得到一个非齐次的可以得到波动方程解的时间局域Strichartz型评价公式。发现C.D. Sogge在三维空间情况下给出的评价公式在二维情况下也遵循这一原理。本次评估作为方程的应用，考虑了带有幂律非线性项的半线性波动方程的初值问题。空间维度设置为2，球对称初值和初速度分别为{ \点当从空间 H}^{1/2-1/p} 和 {\dot H}^{-1/2-1/p} 中获取时，获得了关于时间局部解的唯一存在性的最佳结果。到 Sogge 在三个空间维度的情况下获得的结果的空间二维版本。